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8. Ritorniamo alla P e 5 . Essa è la proiezione su di un S 4 della super- 

 fìcie # 2 5 del Del Pezzo, immersa in un S^, eseguita da un punto fuori di 

 essa. Sicché la P 2 5 possiedo 10 rette, immagini delle 10 rette della <P 2 5 . 

 Inoltre abbiamo anche notato che la F 2 5 possiede 5 piani che la segano 

 secondo cubiche. Ma ciò che è notevole per la F 2 5 è che essa possiede un 

 punto doppio D e le 5 cubiche piane che sono in essa hanno tutte il punto 

 comune D doppio per ciascuna di esse. Per dimostrare però ciò, faremo le 

 seguenti considerazioni. 



9. Consideriamo una <P 2 r ' del Del Pezzo, immersa in un S 5 . E noto (') 

 che la superficie <2> 2 5 dello S 5 può rappresentarsi sul piano e , in modo 

 che le sue sezioni spaziali siano rappresentate da curve C 3 = 1234. 



Esaminiamo questa rappresentazione. 



Le 10 rette della <J> 5 2 sono rappresentate rispettivamente dai quattro 

 punti fondamentali e dalle 6 rette che li uniscono a 2 a 2. La superficie 

 <I> 2 5 possiede 5 sistemi di coniche, che indicheremo con 20 = 1 , 2 , 3 , 4 e 5), 

 corispoudendo il sistema 2 t per *'=l,2,3e4 al fascio di raggi (i) del 

 piano rappresentativo, ed il sistema 2 S al fascio di coniche y 2 = 1234. Per 

 ogni punto P della tf> 2 r> passa una conica di ciascun sistema e queste non 

 hanno altro punto in comune. Ogni conica incontra 5 rette della superficie. 



Le cubiche della <Z> 2 5 si raggruppano pure in 5 sistemi Sii, (e==l,2,3,4e5), 

 Ogni sistema Sii è coordinato al sistema li di coniche in modo che una cu- 

 bica ed una conica del sistema coordinato costituiscano insieme una sezione 

 spaziale della <P 2 5 . Sicché una cubica di Sì t , per i — 1 , 2 , 3 e 4, corrisponde 

 in o- ad una conica passante per gli altri tre punti fondamentali, oltre i\ 

 e, per i = 5, ad una cubica di Sì 5 corrisponde una retta qualunque del 

 piano e. 



È facile vedere come si comportano le cubiche rispetto alle rette, alle 

 coniche del sistema coordinato ed alle altre coniche della superficie. 



Faremo semplicemente notare, per ciò che viene in seguito, che per due 

 punti della <P 2 5 passano 5 cubiche, ima di ciascun sistema; e quindi per 

 ogni corda della CP 2 5 passano cinque S 3 che la segano secondo cubiche, mentre 

 un S 3 qualunque la incontra in 5 punti. 



10. È facile ora dimostrare che: 



Per un punto qualunque 0 dello S 5 passa sempre una ed una sola 

 corda della <£ 2 5 . 



Infatti, gli S 4 passanti per 0 segano la <P 2 5 secondo oo 4 curve y 5 di un 

 sistema lineare A, le cui immagini sono le curve C 3 = 1234 di un sistema 

 oo 4 lineare A' \ e viceversa. Ora in A' vi sono oo 1 cubiche del sistema com- 

 poste di una conica fissa y 2 = 1234 insieme alle rette di un fascio (G). Ana- 

 logamente vi sono in A' oo 1 cubiche composte di una curva ó 2 = 1234 fissa 



(!) Del Pezzo, Mera, citata, § VII, n. 34. 



