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insieme alle rette di un fascio (D). Quindi vi sarà nel primo fascio una cu- 

 bica formata da y% e dalla retta GD e nel secondo fascio una cubica for- 

 mata dalla ó° e dalla GD. Queste due cubiche determineranno un fascio for- 

 mato dalla retta GD insieme alle coniche del fascio [y 2 , óf\- L' esistenza di 

 questo fascio mostra che vi sono per 0 oo 1 sezioni spaziali prodotte da S 4 di 

 un fascio nella 3> 2 5 che si spezzano in una cubica gobba £ 3 (5> , appartenente 

 al sistema Sì 5 suddetto e corrispondente alla retta GD, ed in una conica va- 

 riabile del sistema 2 5 coordinato ad Sì 5 . 



Questa cubica « 3 (5) giace nello S 3 base del fascio degli S 4 ; e poiché da 0 

 passa sempre una sola corda della £ 3 (3) , questa sarà una corda della <2> 2 5 , pas- 

 sante per 0. 



Indicando con A e B i punti di appoggio della corda con la £ 3 (5) , per 

 i punti A e B passano altre quattro cubiche f 3 ci) (per «' = 1,2,3,4) ap- 

 partenenti rispettivamente ai sistemi Sì^ 



Inoltre per 0 non può passare un' altra corda della £> 2 5 . Poiché se ciò 

 accadesse, per i due punti di appoggio dovrebbe passare sempre una cubica 

 del sistema Sì 5 e quindi dovrebbe esistere hW un altro fascio di cubiche 

 determinato dalle coniche del fascio [1234] e da un'altra retta CD'. Ma 

 ciò non è possibile, perchè se partiamo da un' altra conica fissa y\ = 1234, 

 diversa da y z , e da un'altra conica fissa <V = 1234, diversa dalla <? 2 , la 

 retta GD rimane sempre la stessa. Infatti la retta GD forma una C 3 del 

 sistema A' con ogni conica del fascio [1234] e quindi anche con la conica 

 y 2 ', ma la yi' forma fascio di C 3 degeneri con ogni retta del fascio (G'), 

 dunque il centro G' deve appartenere a GD. Analogamente D' dovrà appar- 

 tenere a GD ; sicché la retta GD rimane sempre la stessa e la cubica £ 3 C5> 

 che essa rappresenta è unica nel sistema Sì 5 . Quindi per 0 passa una sola 

 corda della <Z> 2 5 



11. Si è così dimostrato che per un punto 0 dello S 5 passa una sola 

 corda della <P 2 5 e se i punti di appoggio di questa corda alla superficie sono 

 A e B, per essi passano cinque cubiche gobbe f 3 (i) (per i = 1 , 2 , ... , 5) 

 giacenti in cinque S 3 ed appartenenti rispettivamente ai sistemi Sii. Queste 

 cubiche non hanno, oltre A e B alcun altro punto in comune. Sicché pro- 

 iettando allora dal punto 0 la cP 2 5 su di uno spazio S 4 avremo che: 



La superficie F 2 5 possiede un punto doppio Bei cinque piani che 

 la segano secondo cubiche passano per D, il quale è doppio per ciascuna 

 cubica. 



0) Avendo dimostrato che per 0 passa una corda della # 2 S , per dimostrare che ne 

 passa una sola può procedersi così. Supponiamo che per 0 ne passino due, a e b. Con- 

 duciamo per ab uno spazio S 4 arbitrario, esso sega la # 2 5 in una y 5 che ha per corde 

 a e b. Proiettiamo la y 5 da 0 sopra un S 3 dello S 4 , avremo una y£ con due punti doppi 

 e quindi razionale. Ma allora anche la y 5 sarebbe di genere 0, ciò che è impossibile, per- 

 chè un S 4 arbitrario sega la # 2 5 in una y s di genere 1. 



