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Termineremo queste ricerche intorno alla F 2 5 mostrando che essa può 

 sempre appartenere ad una varietà cubica con 7 punti doppi. 



Infatti se una varietà cubica V 3 3 dello spazio 8* contiene la P* 5 , il 

 punto doppio D di questa superficie sarà pure punto doppio della V 3 \ perchè 

 se fosse altrimenti i 5 piani che segano F 2 5 secondo cubiche dovrebbero tro- 

 varsi tutti nel medesimo S 3 , tangente alla V 3 3 in D, ciò che non è possibile. 



Proiettando da D la F 2 5 = D 2 su di uno spazio ordinario S si ha una 

 superficie F 3 del 3° ordine. Ora poiché una sezione spaziale variabile della V 3 3 

 incontrala F 2 5 in una y 5 di genere 1, la superficie <X> 3 immagine della sezione 

 spaziale deve incontrare la F 3 fissa in una C 5 di genere 1 e sapendo che due 

 superficie di 3° ordine s incontrano in una curva di 9° ordine la quale può 

 ammettere due soli spezzamenti in una C 4 ed una C 5 (cioè in una C 5 di ge- 

 nere 2 ed una C. t di genere 1, oppure in una C 5 di genere 1 ed una C 4 di 

 genere 0), si vede subito che la tf> 3 , variando la intersezione spaziale, deve 

 incontrare la F 3 fissa in una C 4 di genere 0. 



Sicché la F 2 5 si proietta dal punto doppio D sullo spazio S in una 

 F 3 == C 4 e le sezioni spaziali della V 3 3 hanno la curva C 4 in comune. 



Questa C 4 dovendo appartenere al cono sestico della V 3 3 uscente da D, 

 questo cono sestico è sezionato da S nella C 4 ed in una rimanente C 2 appar- 

 tenente alle superficie tf> 3 . Ma dovendo poi due <2> 3 segarsi in una C 6 apparte- 

 nente ad una quadrica, questa quadrica deve essere la quadrica delle trisecanti 

 della C 4 ; e poiché questa quadrica è segata da una <P 3 in 2 trisecanti della 

 C 4 , si deduce che la rimanente curva C 2 deve essere costituita da due tri- 

 secanti a , b della C 4 . 



Sicché le sezioni spaziali della V 3 3 sono rappresentate in S da super- 

 ficie (P 3 = Giab. E quindi la V 3 3 possiede 7 punti doppi. 



Inversamente avendosi una V 3 3 con 7 punti doppi, proiettando da un D 

 di essi la V 3 3 su di uno spazio S, le sezioni spaziali della varietà sono co- 

 stituite da superficie Q> 3 =C 4 ab. Ed una superficie F 3 = C 4 rappresenta sulla 

 V 3 3 una F 2 5 del 5° ordine. 



Di più le rette dello spazio S che si appoggiano ad a e b costituiscono 

 il sistema delle trisecanti della F 2 5 , sistema tale che per un punto della V 3 3 

 ne passa sempre una ed una sola. 



Il punto D è doppio per la F 2 5 , perchè la F 3 = C 4 e la F 2 == C 4 ab si 

 segano ulteriormente in ima conica. Sulla F 3 = C 4 vi sono 5 rette della su- 

 perficie F 3 che non si appoggiano alla C 4 . Esse rappresentano delle C 3 =D* 

 della F 2 5 e sono quindi le tracce dei 5 piani che segano la F 2 5 secondo 

 cubiche. 



Finalmente la C 4 ha 10 corde appartenenti alla F 3 . Esse sono le imma- 

 gini in S delle 10 rette della superficie F 2 5 . 



Dunque: la superfìcie F 2 5 appartiene sempre ad una varietà cubica 

 con 7 punti doppi. 



