Si consideri quindi il limite a cui tende l'espressione (8) per !„, (') ten- 

 dente a ridursi a 0 (in via assoluta), il che avviene quando w tende a 0 : 

 se esiste per la (3) un' espressione-limite determinata, questa si designerà col 

 nome di « derivata prima di F(X) rispetto ad X (o semplicente : derivata 

 prima di F(X), calcolata per la determinazione A di X ». Estendendo la 

 notazione che si usa nel calcolo ordinario, rappresenteremo tale derivato con 



F A '(X) oppure con ( ^ j . Così, considerata F'(X) come una nuova fun- 

 zione dell'operazione I variatale X, la sua derivata prima calcolata per una 

 determinazione qualunque di X, che si designerà ancora con A, si dirà « de- 

 rivata seconda di F(X) calcolata per la determinazione A di X - e .si rap- 



(d 2 F(XY\ 

 ■—^ j .E così di seguito si defini- 

 ranno le derivate di F(Xj d'ordine terzo, quarto, ecc. ecc. 



Quando poi s' abbia a considerare il risultato dell' operazione rappresen- 

 tata da F(X) applicata ad una certa funzione oggetto /(yO, si possono cal- 

 colare nello stesso modo, con cui ciò si fece dianzi, le derivate di qualunque 

 ordine di F(X)/(?/ 1 ) rispetto a X (qui si dovrà sempre aggiungere quesf ultima 



designazione, ad evitare equivoci) e si avrà ^~~~^^) "( ~^X V^ 1 ^ 



e s'avranno forinole analoghe per le derivate successive. 



Per la derivazione di funzioni d' un' operazione I variabile, quale fu testé 

 definita, si hanno le seguenti proprietà : 



l a Inteso per fattore costante rispetto a una certa operazione I varia- 

 bile, sia una quantità costante nel senso ordinario della parola o una fun- 

 zione di certe variabili, sia anche un' operazione I od ima funzione d' opera- 

 zioni I che non la contenga, e detto C un fattore costante rispetto all'ope- 

 razione I variabile X da noi considerata, si ha. intendendo sempre per F(X) 

 una funzione dell' operazione X ; per A una certa determinazione di X : 



'd m xn 



dX 1 



in via assoluta. 



Si hanno poi i seguenti teoremi: 



I. La derivazione di funzioni d'una data operazione I variabile, ri- 

 spetto a questa è permutabile all' addizione (e quindi alla sottrazione). 



(') Avendo I« significato d 1 incremento da darsi all' operazione X, si potrà anche rap- 

 presentare con JX, seguendo in ciò la consuetudine invalsa nel calcolo ordinario. 



