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IL Dette F(X) , <P(X) due funzioni dell' operazione I variabile X si ha : 



e applicando la forinola (3) per le derivate successive della funzione dell'ope- 

 razione X : F(X) cP(X) si ha una regola perfettamente analoga a quella del 

 Leibniz data dal calcolo infinitesimale. 



III. Mantenendo ai simboli F , <D , A il significato loro dato per 1' ad- 

 dietro si ha: 



<P(A)F A '(X) — q>/(X)F(A) 

 (<P(A))* 



b) Derivazioni di funzioni di più operazioni I variabili. — 

 La derivazione di funzioni di più operazioni I variabili si definisce nello stesso 

 modo di quella di funzioni d'una sola operazione siffatta. Detto cioè n il 

 numero delle operazioni variabili da considerarsi, si dà a n — 1 di queste 

 una. determinazione fissa, considerando in funzione come dipendente solo 

 n esima operazione variabile. Si deriva poi rispetto a questa operazione X; (i — 1 , 

 2...n) e s'ottiene quella che si dirà: « derivata parziale del primo ordine 

 della funzione considerata rispetto a X;». Così si definiscono e si studiano 

 anche le derivate delle derivate del primo ordine della funzione in parola : 

 e di queste si diranno « derivate parziali pure » quelle in cui la derivazione 

 fu fatta rispetto a una sola operazione variabile a « derivate parziali miste » 

 le altre. Si useranno anche qui notazioni analoghe a quelle che si usarono 

 nel calcolo ordinario. 



Sulle derivate parziali miste ora definite si ha poi il seguente : 

 Teorema: « Nel calcolare le derivate parziali miste di qualunque or- 

 dine d' una funzione di più operazioni I variabili, le derivate che s' ottengono 

 sono sempre le stesse, qualunque sia l' ordine con cui si eseguiscono le de- 

 rivazioni » 



Valgono poi anche per le derivate parziali delle funzioni di operazioni I 

 i teoremi accennati in a. 



Come per le funzioni d' una sola operazione I variabile si ha, mantenendo 

 ai simboli f(y x ) , F(X!...X fl ) , A,B...P il significato loro dato fin qui: 



Si avverta però che affinchè queste ultime espressioni siano atte a rappre- 

 sentarci funzioni analitiche, è necessario che detto JXi l'incremento damarsi alla 

 operazione Xi quando ad es. si voglia la derivata di F(X, ... X r ) /(yj rispetto 

 a questa operazione I variabile, esso deve esser tale che A -f- JX X appar- 



