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tenga ancora al campo delle determinazioni di Xi per le quali F(X, ... X„) f(y x ) 

 è atta a rappresentarci una funzione analitica. È poi del pari necessario 

 affinchè si verifichi quanto sopra che F(X,...X„) sia per X, = A ... X n = P , 

 continua relativamente a f(yì), rispetto a Xi- Ciò vale naturalmente anche 

 per funzioni d' una sola operazione I variabile. 



c) Estensione della formula di Taylor. Per le forme lineari alle 

 potenze d' una o più operazioni I variabili si può dare una forinola analoga 

 a quella di Taylor. Così, detta ad es. F(X) una forma lineare d'ordine (per 

 ordine della forma intendasi anche qui l' indice della più alta potenza di X 

 che comparisce in essa) m alle potenze dell' operazione 1 variabile X e detta w 

 una costante nello stretto senso della parola, A una determinazione arbi- 

 traria di X si avrà: 



F(A + f w ) = F(A) + I-.F'(A) + ... F'"-»(A) + . 



3. Si possono studiare nel calcolo, del quale ci occupiamo, anche serie di 

 potenze d' una o più operazioni I variabili : e si possono dare anche di queste 

 le derivate successive rispetto alle operazioni I che in esse figurano, e la 

 forinola analoga a quella del Taylor. Quando poi si consideri la funzione che 

 s' ottiene applicando l' operazione rappresentata da una serie di potenze d' una 

 o più operazioni I variabili ad una certa funzione oggetto, si presenta la 

 questione di stabilire se per le accennate funzioni vi sia e quale sia un 

 campo di determinazioni delle operazioni variabili da cui dipendono, tale che 

 per ogni determinazione compresa in esso le serie che le rappresentano siano 

 convergenti. 



4. Estensione del concetto d 'integratone. — a) Integrale definito. 

 Si consideri una funzione d' un' operazione I variabile X, funzione che desi- 

 gneremo al solito con F(X): indi, fissata una certa funzione f(y x ) nel campo r 

 di determinazioni di X nel quale F(X) è definita relativamente a f(yi), si 

 assumano ad arbitrio due determinazioni fisse A , B di X : se è y^ la va- 

 riabile da cui dipende F(X) f(y t ) , A , B differiranno fra loro relativamente a 

 F(X) f(y x ) per una certa funzione (variabile con X) di y^ +ì (v. altra Nota 

 citata) che si designerà con J^y^+i)- Ciò posto si fìssi una successione di de- 

 terminazioni di X comprese in r, determinazioni che si designeranno con 

 A! , A 2 ... A 9 . Così sarà: 



A,F(A) f(y x ) — AF(A) f(yi) = ad una certa funzione (determinata) di y^+i che 



si designerà con ó 0 . 

 A 2 F(A 1 )/'(y 1 ) — A 1 F(A l )f(y x )= ad una certa funzione (determinata) di y,j.+ x che 



si designerà con ó x . 



BF(A ? )/(yi) — AqF(À. q )f(yì) = ad una certa funzione (determinata) di y^ che 

 si designerà con ó q . 



