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Allora con un'ovvia estensione di concetti dati dal calcolo ordinario si 

 dirà che, fissando la successione di determinazioni di X : Ai , A 2 ... A q nel 

 modo anzidetto « si è suddivisa la differenza tra B , A relativamente a 

 F(X)f(y 1 ) in porzioni di ó h (h = 0, 1 ... q) ». Ciò posto si faccia la somma 

 dei prodotti delle ó h per le F(A /ì ) f(y^ (h = 0 , 1 , 2 ... q) ove per simmetria 

 nella notazione si designi A con A 0 ). Questa somma sarà: Y_ó h F(A A ) f(y^) 



e si designerà brevemente con S. Ora, quando al tendere delle ó h simulta- 

 neamente e indefinitamente a 0 quella somma ammetta un limite determi- 

 nato, quel limite, per l' analogia che presenta coli' integrale definito che si 

 studia nel calcolo infinitesimale, si dirà « integrale definito della funzione 

 dell' operazione I variabile X : F(X) relativamente alla funzione f(yi), calco- 

 lato fra i limiti B,A (oppure anche integrale definito di F(X)/(j/i), calco- 

 lato fra gli accennati limiti) rispetto a X ». Esso si rappresenterà col sim- 



bolo j F(X) f(y x ) dX , (A , B) si diranno « estremi d' integrazione » . 



E riguardo all' integrale fu testé definito, si ha il : 

 Teorema. — Quando F(X) sia continua entro JH relativamente a f{y x ) , 

 lim S esiste determinato, finito e indipendente dal modo particolare, con cui 



si fanno decrescere le ó 4 . 



Con un' ovvia estensione dei concetti ora esposti, data una funzione 

 F(Xi X 2 — X r ) di r operazioni I variabili Xi ... X r si giunge al concetto d' in- 

 tegrale definito multiplo di F(Xi X 2 ... X,.) relativamente a una funzione as- 

 segnata f(yi), calcolata fra certi limiti finiti, rispetto alle operazioni I va- 

 riabili che in essa figurano. Esso s'ottiene calcolando nel modo anzidetto l'in- 

 tegrale definito di F(Xi ... X r (f(y{) fra gli assegnati limiti rispetto a ciascuna 

 delle Xi ... X r riguardando ogni volta F(Xj ... X r ) come funzione della sola 

 operazione rispetto a cui s' integra e tenendo fisse le altre operazioni. Detti 

 rispettivamente Bi e Ai ... B r e A r i limiti d' integrazione per le singole ope- 

 razioni I variabili: Xi , ... X r , l'integrale definito multiplo di F(Xi ... X r ) f(y{), 

 rispetto a Xi...X r , quando s'integri prima rispetto X 1; poi rispetto aX 2 ... 

 e si prosegua con quest' ordine sino ad integrare rispetto a X r si rappresen- 



Si noti però che mutando l' ordine con cui s' eseguiscono le integrazioni, 

 muta l' integrale al quale si perviene, perchè le operazioni I non sono in ge- 

 nerale permutabili. 



b) Integrale indefinito. Ripresa in esame l'espressionej F(X)/"(2/i)c£X, 



nella quale si mantenga per i diversi simboli il significato che loro fu dato 

 dianzi, si supponga che 1' estremo superiore dell' integrazione sia anziché una 



'd° 



terà col simbolo: 



