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determinazione rissa di X, la stessa operazione I variabile : X. L'espressione 

 che se ne ottiene sarà funzione dell' operazione X (è funzione d' una o più 

 operazioni I variabili anche la funzione che ottienisi applicando 1' operazione 

 rappresentata da una data funzione di certe operazione I variabili applicata 

 a una funzione qualsiasi, cbè anche una tale espressione assume determina- 

 zioni diverse in corrispondenza alle determinazioni diverse che assumono le 

 operazioni variabili contenute in essa) rispetto alla quale si è integrato. Esso 

 si dirà: « integrale indefinito di F(X) relativamente a f(y\) (o anche inte- 

 grale indefinito di F(X) f{y\)) calcolato rispetto a X » e si designerà col 



simbolo: Jp(X) /(y,) dX . 



Sull' integrale indefinito testé considerato si hanno i seguenti teoremi : 



L L'integrale J~F(X)/(^)*2X è funzione continua dell'operazione 1 



variabile X relativamente alla funzione oggetto f(iji), nel campo di deter- 

 minazioni di X, in cui F(X) è continua relativamente a f{yi). 



IL Dall'essere <P(X) f(y x ) = Jl^X)/^) dX risulta d0 ^^ = 

 = F(X)AyO. 



III. L' integrazione (sì definita che indefinita) rispetto ad operazioni I 

 variabili è permutabile all' addizione. 



IV. Detta <P(X) una seconda funzione dell' operazione I variabile : X 

 e mantenendo per F(X), f{y^) il significato che loro fu dato per l' addietro, 



si ha:jF(X)(D(X)flyi)^=^^^^ 



Se, preso in esame l' integrale definito multiplo : 



£" F(X, ... X 2 )/G/0 <t*i - dX r 



considerato più sopra, si suppone che gli estremi superiori d' integrazione 

 siano, anziché determinazioni fisse rispettivamente di X! ... X r . queste stesse 

 operazioni I variabili, l' integrale definito in parola diverrà funzione delle ope- 

 razioni I variabili: X! ... X r . Esso si dirà « integrale indefinito multiplo di 

 F(Xi ... X,.) relativamente a f(yx) (o anche integrale indefinito multiplo di 

 F(Xi ... X r ) f(y x ) calcolato rispetto a X l ... X r e si designerà con: 



X,)f{ yi ) dX x ...dX r 



Per gli integrali indefiniti quali quello testé considerato, valgono tutti 

 e quattro i teoremi dati dianzi per gli integrali di funzioni d' una sola ope- 



