Per valori speciali di n, a questa domanda è stato già indirettamente 



risposto: 



n = 1 ; ogni gruppo della varietà ad una dimensione ha naturalmente 

 una sola equazione di definizione. Questa poi ha una delle tre forme ( 1 ): 



4- c$?)£ = 0 

 ?" + ccùc) r + a' (re) ì = 0 

 f + 2 «P?) + a\x) £ = 0 



?2 = 2 ; uno sguardo al quadro di tutti i gruppi in due variabili ( 2 ), 

 ci mostra che le equazioni : 



Sono le sole che definiscono, ciascuna per sè, un gruppo ( 3 ). 

 n = 3; si incontra a questo punto il solo tipo (1) ( 4 ). 



La circostanza che, già per fr = 3, la equazione dell' ultimo moltipli- 

 catore è l' unica equazione alle derivate parziali che definisca per sè sola un 

 gruppo, fa naturalmente supporre che anche per »>3 la equazione (1) sia 

 l'unica che abbia la proprietà di definire un gruppo. Una dimostrazione di 

 questo fatto non è stata però fin qui data ; mi è sembrato utile farne l' og- 

 getto di una Nota, tanto più che il metodo di cui mi valgo è nuovo, e con- 

 duce ad un teorema generale sai sistemi di equazioni di definizione. 



Ogni gruppo intransitivo ha almeno una equazione di definizione in cui 

 non entrano le derivate delle £: escludo dunque i gruppi intransitivi dalle 

 considerazioni che sto per fare. 



Sia un gruppo qualunque (finito od infinito) in uno spazio ad n dimen- 

 sioni; le equazioni di definizione siano vi, e di ordine s ( 5 ). Indico con e ft „ 

 il numero delle derivate di ordine k di una funzione di n variabili. Con un 



(!) Lie-Engel, Theorie der Transf. gruppen, voi. Ili, cap. I e Math. Ann. Bd. XVI. 



( 2 ) Lie-Engel, Theorie der Transf. gruppen, voi. Ili, pei gruppi finiti e Math. Ann. 

 Bd. XVI; Lie, Abhandlungen der Kònigl. Sachs. Gesellschaft d. W., XXXV Band. (1895), 

 per quelli infiniti. 



( 3 ) Poiché si parla di equazioni alle derivate parziali per le f r h non è il caso di con- 

 siderare i gruppi % ^ -4- 7] ^ = 0 . 



( 4 ) Sebbene la determinazione di tutti i gruppi in E 3 sia un problema già risoluto 

 da Lie, non è stato ancora pubblicato un quadro completo dei diversi tipi. Anche i si- 

 gnori Picard e Beudon hanno eseguiti i calcoli necessari per quella determinazione, ma 

 neppure i loro risultati furono fin qui pubblicati. 



( 5 ) Con s indico l'ordine del sistema: ma vi potranno essere eventualmente equa-- 

 zioni di ordine minore. 



