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metodo trovato da Engel ( x ) si può far corrispondere al gruppo proposto un 



gruppo in N s = n(s ln -4- e M H (- £ sn ) variabili, e ad N s — m parametri, 



contenuto come sottogruppo in un gruppo B sn ad N s parametri. 



Finché i numeri s,n rimangono gli stessi, il gruppo B sn rimane lo stesso, 

 qualunque sia d' altronde il gruppo in n variabili che si considera. Inversa- 

 mente, ad ogni sottogruppo (N s — m)v l ° di B s „ corrispondono gruppi in n va- 

 riabili, con m equazioni, di ordine s. In virtù di questa corrispondenza il 

 problema : 



trovare le equazioni che per sè sole definiscono un gruppo in E n , 

 si trasforma in quest' altro : 



per ogni valore di s , trovare i sottogruppi di B sn ad N s — 1 pa- 

 rametri. 



I gruppi B ln B 2n ... , sebbene siano occorsi in altre ricerche ( 2 ) (stretta- 

 mente legate, del resto, alla teoria dei gruppi) non sono stati ancora oggetto 

 di uno studio speciale. Non potendo d' altra parte dimostrarle in questa Nota, 

 mi limiterò ad enunciare quelle loro proprietà che mi sono necessarie: 



1. Il primo derivato del gruppo B sn ha N s — 1 parametri. Se per le 

 trasformazioni infinitesime di B s „ si conservano le notazioni della mia Me- 

 moria negli Annali di Mai, si trova che questo gruppo derivato è rappresen- 

 tato dalle trasformazioni: 



Bili, i , [i = l ... n (i ={= fx) ; Bjj — B nn i—\...n — 1 ; Bi )N| ...„ n dove j> 1. 



Si indicherà con C sn il derivato di B sn e con U la trasformazione V Bu . 



2. Hanno luogo le reiasioni: 



(UB ; j = (yr i -i)B ilV .. v 



3. Il gruppo G sn coincide col suo derivato (gruppo perfetto). 



4. Le trasformazioni B^ (i 4= , Bu — B nn formano un gruppo iso- 

 morfo al gruppo lineare omogeneo speciale dello spazio ad n dimensioni 

 (quindi un gruppo semplice). 



5. Le trasformazioni B{, v ,...v B (j[. Vi ^ ^ formano un sottogruppo in- 

 variante in C s „ di rango ( 3 ) zero. 



( 1 ) Math. Ann., Bd. XXVII. Vedi anche un mio lavoro negli Annali di Matema- 

 tica, 1897. 



( 2 ) In quelle p. es. sulla generalizzazione delle funzioni di variabile complessa (Pi- 

 card, Journal de Mathém., 1892, e C. E., 1891). 



( 3 ) Adopero questa parola nel senso attribuitole da Killing nella sua Memoria : Weber 

 die Zusarnmensetzung cont. Gruppen (Math. Ann. XXXI). 



