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zioni periodiche di x col periodo 1 ('). La seconda estensione è stata data 

 dal Big. Grévy ( 2 ), ed ecco, con qualche modificazione nelle notazioni, in che 

 9 consiste. Sia n(x) una funzione data, l' operazione che consiste nel sosti- 



tuire, in <f{x), alla variabile x la funzione data n{x); onde la definizione 

 immediata di S 2 ,...S". L'essere il determinante 



<fi 9t (f« 



S^i S(f 2 S(f n 



S-'fo.) S-»(y,) .... S'-'W 



identicamente nullo esprime la condizione necessaria e sufficiente affinchè fra 

 le n funzioni (f x . « 2 , ... a „ passi una relazione della forma (a) in cui i 

 coefficienti ai sono funzioni che rimangono invariate colla operazione S 



Si presenta quindi naturale la ricerca di quelle operazioni distributive A 

 tali che 1' annullarsi del determinante 



(f i <f>ì <Pn 



A.g>! A« 2 Ao<„ 



A"-'(9>i) A«-i(y 2 ) •••• ^iV' 



implichi, come nei casi ora ricordati, una relazione semplice fra le funzioni 

 (f i , y> 2 1 — (fin ; questa ricerca forma l' oggetto della presente Nota. 



Analizzando le dimostrazioni che si sono date dei tre teoremi che abbiamo 

 citati, si vede facilmente che esse si fondano sostanzialmente sulla espressione 

 che si può dare delle operazioni che vi figurano (D , J ed S) quando queste 

 operazioni si applicano ad un prodotto di due funzioni : in altri termini, quelle 

 dimostrazioni si appoggiano al teorema di moltiplicazione veri- 

 ficato rispettivamente dalle operazioni, D , J ed S . Siamo condotti da ciò a 

 ricercare quali operazioni ammettono un teorema di moltiplicazione analogo a 

 quello soddisfatto dalle suddette operazioni e si trova senza difficoltà che esso 

 non si presenta che per operazioni formate in modo semplice colle operazioni D 

 ed S (§ 2). Per tali operazioni poi, l' annullarsi del determinante (b) esprime 

 la condizione necessaria e sufficiente per il verificarsi di una relazione lineare 



(') Casorati, Il calcolo delle differenze finite interpretato ecc. § 7. Annali di Ma- 

 tematica, serie IT, tomo X. 



( 2 ) Étude sur Ics équations fonctionnelles. Ch. VI. Ann. de l'Éc. Normale, HI e serie, 

 tome XI. 



( :< ) Il sig. Grévy dice (ciò che torna evidentemente lo stesso) che le fl{ sono fun- 

 zioni periodiche di periodo 1 di una funzione b(x) tale che Sb(x) = b(x) + 1 . 



