— 303 — 



a coefficienti di forma speciale fra le funzioni (fi , cp 2 ... <p n , ed il teorema 

 così ottenuto contiene come casi particolari quello sul wronskiano, quello di 

 Casorati e quello di Grévy (§§ 3-4). 



1. Indichiamo, in ciò che segue, colle lettere minuscole dell'alfabeto 

 greco le funzioni analitiche e con A un' operazione a determinazione unica 

 che, applicata ad una funzione analitica, dia come risultato una funzione ana- 

 litica, e che goda della proprietà distributiva : 



A(a-h/?) = A(a) + A(fl 



(operazione funzionale distributiva) ; inoltre l' operazione A, essendo a deter- 

 minazione unica, ne segue 



A(0) = 0. 



Supponiamo inoltre che l'operazione A verifichi un teorema di mol- 

 tiplicazione, espresso dalla formula 



(1) A(c^) = cck{<p) A(xp) + P(<pk(y) + VA(«)) + /spV - 



(p e xp essendo due funzioni arbitrarie. Si vuole cercare a quali classi possa 

 appartenere l'operazione A. 



2. Si faccia, nella (1), ip — 1 e si ponga A(l) = £: viene 



Afo) = («£ + §) A(<p) + |$? + y) cp ; 



se ora l' operazione A non deve essere una semplice operazione di moltipli- 

 cazione — un' operazione cioè che consista nel moltiplicare una funzione ar- 

 bitraria per una funzione fissa (') — il che escludiamo, dovrà essere 



( 2) \té+r = o. 



Da queste, risulta fra i coefficienti a , § , y della (1) la relazione 



(3) /?(/?— l) = «y. 



Distinguiamo ora due casi, secondo che a è uguale a zero o diverso 

 da zero. 



I. Se è a — O, viene 0=1, onde la (1) diviene: 



A(<pip) = (pk{xp) -f ^A(sp) -f ycpxp . 

 ( l ) Per l' operazione di moltiplicazione, ogni determinante (b) è identicamente nullo. 



