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Si faccia tp = x , e si ponga 



k(x) -\.yx = iri\ 



viene 



k(xtp) — xk(<j>) = rj(p , 



onde si conclude (') che A è una forma ditferenziale lineare di prim' ordine, 

 vale a dire 



M<fi) = >; D(f -f- , 



ed essendo, per la prima delle (2), £ = — y , viene precisamente 



(4) A(f/) = r^tf — y9 >. 

 II. Sia ora a =}= 0 . La (1) si può scrivere 



ce A((pxp) = (a k((f) + /%) (a A(^) + + («y — /? 2 ) cpip , 

 ma per la (3) 



«y — /3 2 = — /?, 



onde, posto 



(5) «A(9) + ^ = B(sp) 



la relazione di moltiplicazione (1) prende la forma 



B(^) = B(y)B(^), 



cioè l' operazione B è distributiva, oltrecchè rispetto all' addizione, anche 

 rispetto alla moltiplicazione. Essa non differisce dunque ( 2 ) da un" operazione 

 S di sostituzione, onde si conclude dalla (5): 



(6) A(y) = JL S (y) 



Le (4) e (6) dànno così la forma generale delle operazioni distributive che 

 ammettono un teorema di moltiplicazione della forma (1). 



3. Dico ora che 1' annullarsi del determinante V (formula (b) ) quando 

 1' operazione A soddisfa ad un teorema di moltiplicazione (1), è condizione 

 necessaria e sufficiente perchè fra le funzioni y x , (p 2 , ... <p n , passi una rela- 

 zione lineare omogenea 



(7) n l (f x -f-7r 2 g> 2 -| (-7T n g> n = 0, 



(!) V. la mia Nota: Sulle operazioni funzionali distributive (§ 9, c). Rendiconti 

 della R. Accad. dei Lincei, serie 5 a , tomo IV, 1895. 



( 2 ) V. la Nota citata: Sulle operazioni funzionali distributive, § 9, e. 



