— 305 — 



dove rt x , 7T 2 , ... 7t„ sono soluzioni di una medesima equazione funzionale della 

 forma 



(8) A(tt) = Iti. 



I. La condizione è necessaria. Infatti, applicando ad ambo i membri 

 della (7) l' operazione A, tenendo conto della formula (1) e della relazione (8) 

 cui soddisfano le ni , otteniamo 



{al + §) f_ m A(yi) + {§X -f y) f_7ti = 0 , 



onde 



(aX + 0) 2>iA(5Pi) = 0. 



Ma aX-\- fi non può essere nullo, nè nel caso di a = 0 , nè in quello 

 di a =ja 0 : in questo ultimo caso infatti, essendo A data dalla (6), ne risul- 

 terebbe, per essere 



che la (8) si ridurrebbe a 



— S(tt) = 0, 

 a 



equazione che non ammette altra soluzione fuori di n = 0 . Onde si conclude 

 ^7riA(g) f ) = 0, 



ed analogamente 



2_7ti A.\(fi) = 0 , y 7r* A"- 1 ^-) = 0 , 



onde eliminando n x ,n % , ... n n , si ottiene V = 0 , c. d. d. 



II. La condizione è sufficiente. Infatti se V è uguale a zero, esistono n 

 funzioni q x , q 2 , ... tali che sia 



( Ci (fi + ?2 g>2 H h 



<*>« = 0, 



+ A(9> n ) = 0 



Pl A^-^SPi) + ? 2 A"- 1 ^) -j \- Qn A"-'(9» n ) = 0 . 



Si eseguisca 1' operazione A sui due membri delle prime n — 1 dell( 

 equazioni (9) e si otterrà, per la (1): 



J. K« A( ?i ) + fa) A~'(9>i) + (/?A(?i) + m ) AT( 9i )\ = 0 , 

 (r = 0 , 1 , 2 , ... n — 2) 



