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da cui 



Ma moltiplicando una delle (9) per «, la precedente per ,i e sommando, si 

 ottiene il sistema 



%Qi(«km{<p l ) + (ìàr{tp i ) = Q, 



(r = 0 , 1 , 2 . ... n — 2) 



onde si conclude che le e le A(^j) , date dal medesimo sistema di a — 1 

 equazioni lineari omogenee, sono proporzionali. Si ha dunque 



A( Pl ) _A§ 8 )_ _A(g„) = ; 



il che dimostra il teorema. 



4. Ricordiamo ora (§ 2) che le due classi di operazioni che ammettono 

 un teorema di moltiplicazione della forma (1) sono le 



n 1 o /? 



r/ B<p — y(f , —^ ( f — — ( f- 



Per le prime, 1* equazione funzionale (8) diviene 



i?D$p = (y + l)(f , 



le cui soluzioni non possono differire se non per un moltiplicatore costante ; 

 per le seconde l'equazione (8) dà: 



S(y) — + 



ed il rapporto di due soluzioni di questa equazione è una funzione w tale che 



S(ft)) - W , 



cioè una funzione invariante rispetto all'operazione S. 

 Riassumendo, abbiamo trovato che: 



« Indicando con D l' operazione di derivazione e con S quella di sosti- 

 « tuzione, le espressioni 



l-i T)(f -\- v(f . fi S(p -\- vg> , 



