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omogenee del secondo ordine con due variabili indipendenti, ho enunciato il 

 risultato che 1! illimitata applicazione all' equazione elementare : 



delle trasformazioni integrali singolari del 1° ordine (in quella Nota indicate 

 con a e t) dà un mezzo per costruire tutte le equazioni lineari del secondo 

 ordine, il cui integrai generale contiene in modo esplicito le due funzioni 

 arbitrarie. Mi propongo in quel che segue, di dare la dimostrazione di questo 

 teorema. 



1. Rammentiamo alcuni risultati relativi alle trasformazioni integrali 

 singolari del 1° ordine delle equazioni del tipo iperbolico. 

 Data una tale equazione: 



(1) Sì(g) = s -{- ap + bq + c* = 0 , 



indicandone con g V integrai generale, con u a una soluzione particolare dell' e- 

 quazione aggiunta <b[u) = 0 , le due trasformate integrali singolari corrispon- 

 denti alla soluzione u 0 , sono : 



(2) a =ju 0 S2 t {z) dx + gO^) dy =Ju 0 (p + bs) dx + g(^ — au^dy^) 



(3) x = fg* t (u 9 ) dx + u 0 Sì^g) dy = fg(^ - bu 0 ^dx + u Q (q + az) dy ; 



e soddisfano (rispettivamente) per ogni valore di z alle equazioni: 

 (o*\ n*\ Va 1 di fu \ ^ k ^ ^ — n • 



(3 * } n{T) = 2K_JkT»_± ^ ^ = o ; 



y J w -ìxìy Q^ujDx u 0 v '~òy 



(essendo h e k gli invarianti, secondo Darboux, dell' equazione (1) ) e ne 

 sono gli integrali generali. 



Dalle formule (2) e (3) risulta derivando: 



1 ~3<r. _ l 7>t 



cioè: 



(!) Cf. N. formule (13) e (14). Vi è in queste un errore d'impressione; vanno dunque 



corrette come sopra sono scritte. 



