— 309 — 



Le trasformazioni inverse delle due trasformazioni integrali singolari 

 sono le due trasformazioni del Lewy, corrispondenti alle due soluzioni 

 particolari e = 1 , r = 1 delle equazioni (2*) e (3*) ( 1 ). 



Inoltre, indicando con ha , ka ; h r , k T gli invarianti della (2*) e della (3*) 

 si ha : 



) . te 0 ( D log 4> 2 (u 0 ) , D log h ) , 1 _ , s _ , " 



Segue di qui una conseguenza importante. Indichiamo infatti con M(j?) = 0 

 1' equazione aggiunta della (2*), con rj il suo integrai generale, con M^r;), 

 M 2 (ìj) , r^c) , r 2 (o") le rispettive componenti del 1° ordine. ^Ricordando al- 

 lora che la (2*) ammette la soluzione particolare e = 1 , avremo, applicando 

 la stessa trasformazione che dalla z fa passare alla e, che la funzione: 



rp = jM 2 ft) dx + 1? 1^(1) dy 



è l' integrai generale della equazione : 



ossia, poiché: 



~òx~òy A 'isx r^l) 1y 



r i (l) = -~0 1 (u o ), k. n = ha, 



dell' equazione : 



Da? Dy ' V Dy / "Sa; V D# / Dy 



il che dimostra che la funzione: 



u = u 0 tp 



è l'integrai generale della (P(w) = 0. Abbiamo cioè il teorema: 



Eseguendo sulla equazione aggiunta della (2*) (o t/eWa (3*)) me- 

 desima trasformazione che porta dalla z alla a (oppure alla rj_, colla so- 

 luzione particolare er = 1 (o % = 1), ottiene un equazione equivalente 

 alla 4>(u) = 0, aggiunta della data. 



Indicando poi con £ F integrai generale della equazione aggiunta alla (3), 

 dalle formule superiori segue anche: 



u u 

 , K \ — Ho ò— <. — u D — 



(6) ,= ^ :f= ^' 



0) Cf. N., n. 2. 



