dalle quali si ha senz' altro il teorema : 



Gli integrali generali delle equazioni aggiunte della (2*) e della (3*) 

 si ottengono da quello della equazione aggiunta della (1) (rispettivamente) 

 colle due trasformazioni del Lewy corrispondenti alla soluzione partico- 

 lare ilo che ha servito alla trasformazione. 



Osserviamo infine che se l'equazione (1) è integrabile col metodo di 

 Laplace e più precisamente, secondochè la serie di Laplace relativa alla (1) 

 è finita in un solo senso, oppure in tutti due i sensi delle variabili x ed y, 

 altrettanto accade di ogni sua trasformata differenziale ed integrale. Questo 

 è evidente per le trasformazioni differenziali : per le integrali risulta imme- 

 diatamente da un teorema di Darboux ('). 



2. Andiamo ora a costruire tutte le equazioni lineari del secondo ordine 

 che hanno un integrale generale esplicito nelle due funzioni arbitrarie. Esse 

 ci saranno date dalla applicazione ripetuta delle trasformazioni singolari a e t. 



Supponiamo infatti che la serie di Laplace relativa alla equazione (1) 

 sia finita in ambo i sensi e quindi il suo integrai generale abbia la forma : 



(6) s = AX + A,X' -| 1- A A _ 1 X»'- 1) + BY + B^' -\ f- B^Y"- 1 ' , 



(essendo X una funzione arbitraria della sola %, Y della sola y) ; sia, cioè, di 

 rango h rispetto ad x, k rispetto ad y ( 2 ). Ponendo allora: 



L'integrai generale u della equazione aggiunta sarà allora di rango k 

 rispetto ad x , h rispetto ad y ( 3 ) ; avrà dunque la forma : 



(8) w= aX+« 1 X'+-+a ft _ 1 X (ft - 1 >+/?Y+ f ? i r+-+ / S A _ 1 Y'"-'>=/i 1 (X)+^ 1 (Y) 



(7) 



sarà 



(6*) 



; = /\(X) + / 2 (Y). 



dove: 



(9) 



( 1 ) Cf. Darboux, Legons sur la théorie générale des surfaces, voi. II, pag. 151. 



( 2 ) Cf. Darboux, 1. e, pag. 36. 



(3) Id., 1. e, pag. 96. 



