Indichiamo inoltre con gi(t),g 2 (t) i polinomi aggiunti di f x {t) , fì{t); 

 per i quali si hanno dunque le identità: 



| vf l{ t)-tg ì (v) = ^ B ì (t,v) 

 vW) — tg z {v) = ^-Mt» 



(10) 



essendo B x , B 2 forme bilineari in t,v e nelle loro derivate fino a quelle degli 

 ordini h — 2 , k — 2 rispettivamente ('). 



Ciò posto, sia co una soluzione particolare della <P(w) = 0, data dalla (8) 

 per X = X t , Y = Y x : e poniamo : 



/ = / 1 (X); z"=f 2 {Y)- o/^CXx); m" = h 2 {Y,) 



e quindi: 



2 — / -j- 2" ; « = to' -f- co" . 

 Dalla formula (2) avremo allora, facendosi w 0 = co, che la funzione : 

 0 — a' -j- ex" 



dove : 



rr' = po £ 2 (/) dx -j- /#](<») % = co/ — JV <Z> 2 (co) cfo + coi2i(/) cfy , 

 o 1 "— JwSl 2 (s") dx -\- /'(Pi(co) rfy , 



è l'integrai generale di un'equazione del secondo ordine, che si ha dalla (2*) 

 facendosi w 0 = co. Ma dalla prima delle (10), facendovi: 



v = <D S («) ; t = X ; 



abbiamo : 



^<I>,(«,) = X^(d> 2 (<o) ) + ^B 1 (X, tf> 2 ( M ) ) , 



e quindi anche, sostituendo in a' ed eseguendo parzialmente l' integrazione : 



a' == co/ — B X (X , <2> 2 (co) ) — f X^O^o,)) ^ + L^') — ^ B 1 (X,<P 2 (co) )jc% . 

 Ne segue ( 2 ) : 



co^/) — — B,(X, 0> 2 (co) ) = 0 , 



(1) L. e, pag. 99. 



( 2 ) Darboux, 1. e, pag. 154. 



