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<j x (<b,(a)") ) = 0 ; gt(<l>o.(<») ) = g i (U> ì (o)') ) = f/,(X,) = funzione della sola x\ 

 e quindi : 



a' = w: — B,(X,« 2 (to)) — JXg>i(Xi) da . 



Affatto analogamente, ponendo nella seconda delle (10) : 

 v = (D i (ù)) ; i = Y , 



abbiamo 



e quindi: 



o" = B 2 (Y,0> 1 ( W )) + jLi?^") — ~ B^Y^xH )U» + Y0,(0,(») ) (te 

 donde deduciamo di nuovo ('): 



— -|b 2 (Y,<P 1 ((b)) = 0; 



^ 2 (<2> 1 (o)')) = 0 ; p 2 (a> 1 (co)) = ^((^(w")) = y 2 (Y0 — funzione della sola y ; 

 e quindi: 



<r'' = B 2 (Y^ 1 (< B )+j^ 2 (Y 1 )<fy; 



donde finalmente: 



(11) ^«^(X)— B 1 (X,* 8 (a,))-f-B,(Y 1 <P 1 («»))- J'Xy 1 (X 1 >te+jY S p,(T 1 )^ . 



Da questa espressione di cr segue che, quando le due funzioni X! ed Yi 

 non siano tali da annullare (fi(Xj) , c/ 2 (Yi), si può avere o libero da ogni 

 segno di quadratura, sostituendo alle due funzioni arbitrarie X ed Y le nuove 

 X' Y' 



funzioni arbitrarie : — 7— ; — -— . Si ha così : 

 9>i(Xi) 5P 2 (Yi) 



si ha cioè per cr un'espressione di rango h -j- 1 rispetto ad x, k rispetto ad y ( 2 ). 

 (') Cf. Darboux, 1. e, pag. 154. 



( 2 ) Veramente la (11*) e la (12) dimostrano che a è al più di rango h-\-l rispetto 

 ad x, k rispetto ad y e r di rango h rispetto ad x, k -\- 1 rispetto ad y al più : ma si 

 noti che la z, essendo di rango h rispetto ad x, k rispetto ad y, si annulla (cf. Darboux, 

 1. e, pag. 48-52) per h-\-k — 1 coppie di funzioni: 



(Xiyt) i=l,2...h + k—l 

 linearmente indipendenti. Di qui è chiaro (Darboux, 1. e, pag. 158) che la a e la r si 

 annullano per le coppie : 



e per l'altra (1, 1). Ne segue che la somma dei loro ranghi è uguale ad h -\- k — 1 e 

 quindi effettivamente cr è di rango h -4- 1 rispetto ad x, k rispetto ad y , r di rango h e k -f- 1. 



