Affatto analogamente dalla (3) deduciamo, facendovi u 0 = co, sempre 

 nell'ipotesi di ^(XJ 4= 0, y 2 (Y 1 )4=0: 



(12) % - " f - Ub) + Bi t§5 ■ * ,(M) ) - Bi (db ' * i(w) ) +x ~ Y; 



si ha cioè per x un'espressione di rango h rispetto ad x, k -f- 1 rispetto ad y 



Noi diremo che un' equazione di Laplace è di rango h rispetto ad x, 

 k rispetto ad y, quando tale è il rango del suo integrai generale. Abbiamo 

 allora il teorema: 



La trasformazione singolare ff(or), definita dalla formula (2) (0 (3)), 

 conduce i n generale da equazioni di rango finito rispetto ad x e ad y, 

 ad equazioni, il cui rango rispetto ad y (0 ad x) rimane invariato, quello 

 rispetto ad x {0 ad y) aumenta invece di una unità. 



3. Consideriamo ora il caso escluso, nel quale una 0 tutte due le espres- 

 sioni (piCX-i) , 9 2 (Y X ) siano uguali allo zero. L' esistenza di tali funzioni 

 Xi, Yi risulta subito dalla ripetizione di un ragionamento di Darboux ( 2 ); 

 essa è dunque fuori di dubbio. 



Supponendo allora ad es. che sia la sola <fi(Ki) = 0, mentre y 2 (Y 1 )4=0, 

 la (11) dimostra che e è di rango h rispetto ad x, k rispetto ad y al più: 

 ma, osservando che essa si annulla per le h-\-k — 1 coppie linearmente 

 indipendenti : 



si deduce che essa è effettivamente di rango h rispetto ad x, k rispetto ad y. 

 Il medesimo ragionamento dimostra che in questo caso x è di rango h — 1 

 rispetto ad x, k-\-l rispetto ad y. 



Una conclusione affatto analoga vale quando sia invece ^(Xj) =j= 0, 

 <iP 2 (Yi) = 0 ; basta per questo scambiare h con k, x con y, a con x. 



Quando poi sia insieme 5Pi(X0 = 0, g> 2 (Y x ) = 0, allora la (11) e l'ana- 

 loga in x dimostrano che a è al più di rango h rispetto ad x, k — 1 rispetto 

 ad y ; e t al più di rango h — 1 rispetto ad x, k rispetto ad y. La somma 

 dei due ranghi è in tutti due i casi diminuita dunque almeno di un'unità. 

 Ma si ricordi che le inverse delle due trasformazioni a e x sono due trasfor- 

 mazioni del Lévy, e si faccia l' osservazione evidente che una tale trasfor- 

 mazione può aumentare al più di una unità uno dei due ranghi dell' equa- 

 zione a cui si applica : ne dedurremo allora subito che e è di rango h rispetto 

 ad x, k rispetto ad y ; x di rango h — 1 rispetto ad x, k rispetto ad y. Pos- 

 siamo quindi enunciare il teorema: 



Xi , ym(Yi) dy) i = 1 , 2 ... h + k — 1 



(*) Cf. la nota ( 2 ) della pag. ant. 

 (2) Cf. Darboux, 1. e, pag. 159. • 



