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sia finita nel senso di una sola variabile. Anche in questo caso l'applica- 

 zione illimitata delle trasformazioni singolari, che in quella Nota ho indi- 

 cato con a e v, alle due equazioni elementari : 



(2) £<<*>-<>, ;>)-o, 



dà il modo di costruire tutte le equazioni in discorso. Mi propongo in questa 

 Nota di dimostrarlo. 



1. Supponiamo dunque che la serie di Laplace relativa alla equazione (1) 

 sia limitata in un sol senso, ad es. quello della variabile x e quindi ammetta 

 un integrale particolare della forma: 



(3) z' = AX + A r X'+ ••• + A ;i _i X (ft - n = A (X) . 



L' equazione aggiunta avrà allora degli integrali particolari u" della 

 forma : 



(4) u" = «Y + a x Y' -\ 1- « w Y (;t_1) = h 2 (Y) 



ed il suo integrai generale u si comporrà di due parti, una uguale ad u'\ 

 l'altra v! della forma ('): 



(5) u ~ a fuX dx -f- «j f fi ~ X dx -f- 1 ' + f — ^ X eta? 

 e sarà: 



(6) ?/ = w' + w". 



Indicando allora con o> una forma particolare di u, corrispondente alle 

 funzioni arbitrarie X l5 Yi, la trasformazione <r applicata ad una soluzione 2 

 della forma (3) darà ( 2 ) : 



<s = u)g' — B 



(X,0 2 (w))-jx gi ((D 2 (w))dx, 



dove g l (0 2 (co)) dipenderà dalla sola variabile x, sarà cioè: 

 ?i($s(u")) = 0 ; gi(<D 2 ((o)) — ^(<2> 2 («')) — <Pi(X,) = funzione della sola # ; 

 e quindi, se <Pi(Xi) =j= 0, prendendo come nuova funzione arbitraria la fun- 

 X' 



zione —7=^ : 



( 1 ) Cf. Darboux, Le$oip etc, voi. II, pag. 34. 



( 2 ) Cf. P, n. 2. 



