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(7) 



che è rispetto ad x di rango h-\- 1 al più. 



Quando sia invoce y> l (X ì ) = Q, allora sarà: 



(8) 



a = a' = <»/ , 1 (X) — B,(X , * 2 (w) ) , 



che è rispetto ad x di rango h al più. 



Affatto analogamente sarà, se «jp^Xi) =j= 0, 



che è rispetto ad # di rango h al più: e se «^(XJ = 0, 



(10) 



r = B 1 (X,<P 2 (w)); 



che è al più di rango h — 1. 



Un ragionamento affatto simile vale nel caso che la serie di Laplace 

 della equazione data sia limitata nel solo senso della variabile y. 



Riassumendo, abbiamo dunque che, quando la serie di Laplace della 

 equazione (1) è limitata nel solo senso della variabile x, la trasformazione <r 

 conduce in generale da equazioni di rango h rispetto ad x ad equazioni, il 

 cui rango rispetto ad x è al più uguale ad h -J- 1, in particolare uguale 

 ad h o minore : la trasformazione t conduce invece in generale ad equazioni 

 che hanno al più il rango h, in particolare al più h — 1 (sempre rispetto 

 ad x): ed un risultato perfettamente analogo vale nel caso che la serie di 

 Laplace dell' equazione data sia limitata nel solo senso della variabile y, 

 permutando allora le due trasformazioni. Ma, tenendo conto della relazione tra 

 le equazioni in z e a ('), possiamo precisare il risultato superiore ed affermare 

 che nel caso generale di ^(X^ =j= 0, la a sarà effettivamente di rango h-\- 1 

 rispetto ad x, la t di rango h: quando sia invece <jPi(Xi) = 0, la a sarà di 

 rango h, la z di rango h — 1 (ed un risultato del tutto analogo si ha scam- 

 biando x con y, a con t). 



Si consideri infatti ad es. un'equazione di rango finito, uguale a k, 

 rispetto ad y. Da essa, mediante un'opportuna trasformazione e possiamo 

 certamente, per quello che precede, ottenere un' equazione il cui rango rispetto 

 ad y è minore di k. Le due equazioni aggiunte di queste due hanno allora, 



(») Cf. P, n. 1. 



