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la prima il rango k rispetto ad x, la seconda un rango minore e inoltre, 

 pel teorema sopra ricordato dalla seconda si ottiene la prima con una 

 certa trasformazione e. Questo dimostra insieme che la trasformazione e 

 deve in generale aumentare il rango della equazione rispetto ad x dì una 

 unità, e se l'equazione ha invece un rango finito rispetto ad y, può itì casi 

 particolari diminuirlo di una unità al più. Analogamente, osservando che 

 per un' equazione di rango finito rispetto ad y la trasformazione a non può 

 mai aumentare il rango, ne deduciamo ancora che inversamente la a non 

 può mai diminuire il rango di un' equazione rispetto ad x : e questo, ragio- 

 nando come sopra, dimostra che la trasformazione ff conserva il rango di una 

 equazione rispetto ad x in casi particolari, rispetto ad y nel caso generale. 

 Un ragionamento perfettamente simile vale per la trasformazione t (sebbene 

 sia per questa inutile il ripeterlo, in quanto risulta subito dall' osservare che 

 le due funzioni a e x si deducono l' una dall' altra con una trasformazione di 

 Laplace); possiamo dunque enunciare il teorema: 



La trasformazione o 1 (o -e) conduce in generale da equazioni di rango 

 h rispetto ad x ad equazioni di rango h-\-\ {od h) rispetto ad x 

 ed in -particolare ad equazioni di rango h (od h — 1). Quando invece 

 l'equazione abbia un rango finito rispetto ad y, conviene scambiare le due 

 trasformazioni. 



E di qui anche segue ( 2 ) : 



Partendo dall'equazione più generale di rango 1 rispetto ad x (o ad y), 

 cioè dalla equazione: 



(aq) — 0 (oppure ^ (ap) = 0 ) 



la trasformazione g (o la t), ripetuta un numero illimitato di volte, con- 

 duce a tutte le equazioni di rango finito rispetto ad x (o ad y). 



2. Abbiamo ammesso al n. precedente, V esistenza di funzioni X! che 

 annullino </>i(Xi); che soddisfino cioè ad una relazione della forma (ponendo X 

 in luogo di Xi): 



(11) X, [ X pJLix+Xt r [x 2 Xdx-\-'+h f*/iiX<te+«X'+-+a k X (W =0 



essendo le X , n , a funzioni note della sola x. Dimostriamo ora l' esistenza 

 di tali funzioni e più in generale di funzioni X che soddisfano ad una re- 

 lazione : 



(11*) 4, Xdx-\ 1- Xi f % X dx + «X + a,X' -f- - + «,X (?i) =A 



dove A è ancora una funzione nota della x. 



(1) Cf. P, n. 1. 



(2) Cf. P, n. 4. 



