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Supponiamo perciò che sia X una .soluzione (integrale) della (11*); fa- 

 cendo in essa A, = 1, il che evidentemente è possibile, e derivando rispetto 

 ad x, otteniamo: 



di 



+(«+S) x '+-+- x "*H 



dk 



dx 



cioè la X soddisfa altresì ad una relazione analoga alla (11*), nella quale 

 però i e k sono stati sostituiti da i — 1 e Z;-f-l. Reciprocamente, suppo- 

 niamo che si conosca una funzione X che soddisfi alla relazione: 



? 2 J a ?»+"-+? i J%x^+ / sx-|-/? 1 x'+.--+ ( ^ 1 x ( '- i '=B, 



avremo allora integrando tra x 0 ed x: 



J_r f * \lr \ X Qr X dx\dx -f f*/?X dx + f t Pft X«> dx = f^B dx 



2 J x 0 { J x a 1 Jx a i J x 0 J x 0 



Ma, integrando per parti, e ponendo: 



K — f ìr dx , 



J x 0 



si avrà: 



r^X^dx = (-l)' f%i>Xdx-\-\X h (— l^X^^wf ; 



J x a J X 0 ' 1 )x a 



Jj £ r j X eta? | dx — l r \ (V X dx — j (> r IrXdx ; 

 e quindi sarà: 



Jx 0 \ 2 1 ' 2 ^ x 0 1 



cioè X soddisfa ad una relazione, che disponendo opportunamente delle fun- 

 zioni PiKiQr ed A x si può identificare colla (11*). 



Ne segue che le funzioni X che soddisfano alla (11*) sono gli integrali 

 di una equazione differenziale lineare (non omogenea) di ordine k -f- i. Esi- 

 stono dunque di tali funzioni X ed è dato anche un metodo per trovarle. 

 Con ciò la dimostrazione superiore è completata. 



