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3. Gli sviluppi superiori dimostrano il teorema enunciato in principio: 

 essi conducono inoltre a delle conseguenze interessanti che importa notare. 



Ricordiamo perciò innanzi tutto che le due trasformazioni del Lewy sono le 

 inverse delle due trasformazioni a e % (') : valgono dunque per esse delle pro- 

 prietà affatto simili a quelle dimostrate sopra per la e e la t : ed in particolare: 



L' applicazione illimitata delle due trasformazioni del Lewy all'equa- 

 zione elementare: 



s = 0 



conduce a tutte le equazioni del 2° ordine, la cui serie di Laplace è finita 

 nei due sensi; 

 ed ancora: 



L'applicazione illimitata della prima (o della seconda) trasformazione 

 del Lewy all'equazione elementare 



Y x = 0 {oppure ~ (ftp) = 0 ) 



conduce a tutte le equazioni lineari del secondo ordine, la cui serie di 

 Laplace è terminata nel solo senso della variabile x (o della y). 



Questo è appunto il metodo tenuto dal Darboux nelle sue lezioni per la 

 costruzione di queste equazioni ( 2 ). 



Un' altra conseguenza notevole riguarda la risoluzione del problema di 

 Cauchy per una qualunque di queste equazioni. Ricordiamo infatti che il 

 metodo di Riemann per l' integrazione di un' equazione del tipo iperbolico 

 riconduce la risoluzione del problema di Cauchy alla determinazione di un 

 integrale particolare dell' equazione stessa, la soluzione principale ( 3 ). E 

 facile inoltre vedere, che, nota la soluzione principale di una data equazione, 

 è pure nota con quadrature la soluzione principale di ogni sua trasformata 

 differenziale ed integrale ( 4 ). Osservando allora che la soluzione principale 

 della equazione: 



s = 0 



(») Cf. P, n. l. 



(*) Cf. Darboux, 1. c, cap. II, VI, VII. 



( 3 ) Ibid., pag. 71 e segg. 



( 4 ) Accenniamo la dimostrazione per una delle due trasformazioni singolari, ad es. 

 per la <s. La soluzione principale dell'equazione in a è determinata dai valori che essa 

 prende lungo due rette parallele agli assi coordinati e dal prender nel punto comune il 

 valore 1. Ma allora in forza delle due relazioni 



lungo la retta parallela all'asse x si ha il valore della z con due quadrature, lungo il 

 tratto parallelo all'asse y immediatamente. Costruendo allora della equazione (1) quell'in- 



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