è uguale ad 1 , quella delle oquazioni più generali di rango 1 rispetto ad x 

 (o ad y): 



è rispettivamente uguale a: 



<*{x , y 0 ) . P(x 0 . y) 

 a(x 0 ,y 0 ) ' Pia* , y 0 ) ' 



(essendo x 0 , y 0 il punto ove la soluzione principale si suol calcolare), ne 

 segue il teorema (già trovato per altra via dal Goursat): 



Se uri equazione lineare del 2° ordine è integrabile col metodo di 

 Laplace, la determinazione della ma soluzione principale e quindi la riso- 

 luzione del problema di Cauchy è per essa ricondotta alle quadrature. 



4. Facciamo infine un' osservazione di indole storica. Il Moutard, nella 

 sua celebre Memoria perduta negli incendi della Comune del 1871, aveva 

 trattato il problema della determinazione e costruzione di tutte le equazioni 

 del secondo ordine con integrale generale esplicito. Nella prima parte della 

 sua Memoria egli dava la forma di queste equazioni e ne riduceva l' integra- 

 zione a quella di un'equazione lineare, ancora con integrale esplicito, del tipo 

 di Laplace : nella seconda parte dava un metodo per la costruzione di tutte 

 queste equazioni : nella terza, la sola che ci sia rimasta, perchè nuovamente 

 redatta dal Moutard, son determinate tutte le equazioni con invarianti uguali. 

 Recentemente, in una Nota alle lezioni di Darboux, la prima parte è stata 

 ricostruita dal Cosserat: ed è poi evidente che i teoremi che precedono (') pos- 

 sono, volendo, riguardarsi come una ricostruzione della seconda parte della Me- 

 moria di Moutard. Anzi, se si osserva la grande analogia del nostro procedi- 

 mento con quello tenuto dal Moutard (e dal Darboux) per le equazioni ad 

 invarianti uguali, non è assurdo il pensare che il metodo tenuto dal Mou- 

 tard nella seconda parte della sua Memoria, se pure non uguale a quello su- 

 periore, pure non doveva essere molto dissimile da esso; in fondo poi equi- 

 valente.- 



E si presenta ora opportuna un' altra osservazione. Il metodo di Mou- 

 tardi dà, è vero, il metodo di costruire (per via ricorrente) tutte le equazioni 

 del secondo ordine con integrale generale esplicito (o semiesplicito) : ma sia 

 esso, come anche il metodo di Laplace non danno un criterio per ricono- 

 scere a priori con un numero finito di operazioni se una data equazione del 



tegrale z che prende lungo i due tratti rettilinei i valori così ottenuti (il che, per l'ipo- 

 tesi fatta, si fa con quadrature), la funzione a corrispondente all'integrale z superiore è 

 la soluzione principale della sua equazione. E analogamente per la r. 

 (') (e quelli della nota P). 



