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superficie algebriche ; per alcune superficie si doveva concludere che esse non 

 possedevano genere lineare. Si è cercato di togliere una tale eccezione modi- 

 ficando convenientemente la definizione di p a) ; ed il sig. Enriques ha fatto 

 qualche passo verso questa meta. Però il risultato definitivo viene raggiunto 

 soltanto colla ricerca, che mi propongo di esporre sommariamente in questa 

 Nota ed in una Nota successiva. E non solo mostrerò che esiste per ogni 

 superficie un carattere invariantivo, che può definirsi come il genere lineare p a) 

 (poiché la nuova definizione coincide coli' antica, quando questa sia applica- 

 bile); ma mostrerò inoltre quale importanza abbia il valore di^ (n nello studio 

 delle proprietà della superficie. Si vedrà infatti che le superficie algebriche 

 possono dividersi in due grandi famiglie secondo il valore del genere li- 

 neare p a) ('). Precisamente distingueremo: 



1) le superficie per cui p iU ~ 1 ; sopra di queste la successione for- 

 mata da un sistema lineare di curve qualsiasi, e dai sistemi successivi aggiunti, 

 è illimitata ; 



2) le superficie per cui p m =0; sopra di queste invece la successione 

 formata nel modo ora detto, si compone di un numero finito di sistemi. 



Noi ancora saremo condotti a suddividere le superficie della seconda 

 famiglia in due categorie, per rispetto ai valori di un secondo invariante p (1) , 

 che introdurremo con una definizione affine a quella che ci dà^ (1) ; chiameremo 

 p (1) genere lineare secondario. Orbene noi distingueremo: 



2') le superficie per cui p co >> 1 ; tra queste si trovano le superficie 

 razionali, e forse altre di cui però non si possiede per ora alcun esempio; 



2") le superficie per cui p (u = l; queste ultime si possono caratte- 

 rizzare in modo completo, giacché si dimostra che esse contengono un fascio 

 irrazionale ili curve razionali, e quindi possono trasformarsi birazionalmente 

 o in rigate, o in superficie possedenti un fascio di coniche. Così adunque si 

 raggiunge, tra gli altri, questo risultato, di definire completamente la famiglia 

 delle superficie contenenti un fascio di curve razionali mediante i valori di 

 due invarianti numerici p a) £^ 0, p (,) ^ 1. 



1. Per maggior chiarezza riferisco brevemente le definizioni di p liì 

 dovute al sig. Nòther ed al sig. Enriques. 



Il sig. Nòther ( 2 ) parte da una superficie P data mediante i suoi caratteri 

 proiettivi (superficie dello spazio ordinario, di un certo ordine n, dotata di 

 certe singolarità...), e costruisce le superficie d' ordine n — 4 aggiunte ad P, 

 supposte esistenti. Ciascuna di queste sega la superficie P, all' infuori delle 

 curve multiple e di certe curve eccezionali (di cui presto dovrò parlare), lungo 

 Un curva K che, al variare della superficie secante, descrive sopra F un sistema 



(') Una ulteriore classificazione si può fare attribuendo al carattere valori numerici 

 particolari. Sulle superficie che corrispondono ai valori p<- l ~> = 2, 3, si possono consultare 

 due Note del sig. Enriques nei Eendiconti di questa Accademia, 1897. 



(*) Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens..., Math. Annalen, 8. 



