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lineare |K|, il sistema canonico. Il genere della curva K è precisamente (se- 

 condo il sig. Nother) il genera lineare //" della superficie V. 



Ora ò chiaro che la delìnizione geometrica di p ilì qui riportata, si ap- 

 plica soltanto alle superficie P d' ordine n , che posseggono almeno una su- 

 perficie aggiunta d'ordine n — 4; in altri termini, si richiede che il genere 

 geometrico p fJ della superficie F sia 1. 



Per ovviare a questo inconveniente il sig. Enriques propose una defini- 

 zione numerica del carattere jo U) , la quale si estende anche ad una parte 

 delle superficie aventi p g = 0. Noi esporremo la nuova definizione, dopo di 

 esserci fermati un po' sul concetto di curva eccezionale, che è necessario di 

 posseder chiaramente per procedere in quest' ordine di ricerche. 



2. Quando tra due superficie algebriche P ed F', date mediante i loro 

 caratteri proiettivi, passa una corrispondenza birazionale, ad ogni punto sem- 

 plice dell'una, ad es. di F\ corrisponde ingenerale impunto semplice di F. 

 Però possono esistere su F' certi punti semplici (in numero finito), a ciascuno 

 dei quali corrisponde su F, non più un punto, ma una curva. Ogni curva 

 siffatta, necessariamente razionale, dicesi curva eccezionale (ausgezeichneté) 

 di F. Per ottenere tutte le curve eccezionali che F possiede, occorre però 

 di mettere in relazione la F con tutte le superficie che possono ottenersi da F 

 mediante trasformazioni birazionali, ossia con tutte le superficie della classe 

 (in senso Biemanniano) a cui F appartiene; si dirà eccezionale ogni curva 

 di F, che corrisponda ad un punto semplice di una qualsiasi tra le superficie 

 della classe. 



Una superficie può possedere un numero finito o infinito di curve ecce- 

 zionali ; e sia l' una, sia l' altra proprietà si trasmette a tutte le superficie 

 della classe. Superficie contenenti un numero finito di curve eccezionali sono, 

 ad esempio, tutte quelle che hanno il genere geometrico p,j^>0 (quindi la 

 superficie generale di ordine superiore a tre nel nostro spazio, ecc.). Invece 

 tra le superficie che posseggono infinite curve eccezionali, si trovano il piano 

 e le rigate ; infatti sul piano è eccezionale ogni retta, ed ogni curva che possa 

 mutarsi in una retta mediante una trasformazione cremoniana; e sopra una 

 rigata è eccezionale ogni generatrice. Se poi oltre alle superficie razionali, 

 ed alle superficie contenenti un fascio (serie di indice 1) di curve razionali, 

 esistano altre superficie dotate di infinite curve eccezionali, ancora non è 

 noto. La questione qui enunciata, ha però una importanza grandissima nella 

 teoria delle superficie algebriche. 



Un' altra questione si può porre riguardo alle superficie che posseggono 

 un numero finito di curve eccezionali. Se F è una tale superficie, la pro- 

 prietà che essa gode, si trasmette, come abbiamo detto, a tutte le superficie 

 della classe a cui F appartiene; ma il numero delle curve eccezionali può 

 variare passando dall' una all' altra di queste superficie. Ora fra tutte le su- 

 perficie della classe, esisterà ima che sia priva di curve eccezionali? In altre 



