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parole, sarà possibile trasformare la F, che ha un numero finito di curve 

 eccezionali, in un'altra superficie che non ne possieda alcuna? 11 sig. En- 

 riques ( ! ) ha risposto in modo affermativo alla domanda sotto ipotesi molto 

 larghe relative alla superficie F ; ma non è noto se la stessa risposta valga 

 in ogni caso. 



3. Ora siamo in grado di comprendere facilmente la definizione nume- 

 rica del genere lineare p a) data dal sig. Enriques ( 2 ). 



Si abbia una superficie dotata di un numero finito di curve eccezionali, 

 e si supponga inoltre che la superficie possa trasformarsi birazionalmente in 

 un' altra priva di curve eccezionali. Indichiamo con F quest' ultima superficie, 

 che a noi basta considerare. Fissiamo poi sopra F un sistema lineare |C] 

 di curve privo di punti base (ad es, il sistema delle sezioni piane di F), 

 ed indichiamo con n il grado di |C| (numero delle intersezioni variabili di 

 due curve C), e con tv il genere della curva C generica; sia inoltre ri il 

 genere della curva generica C\ appartenente al sistema |C r | aggiunto a \G\. 

 Con tali caratteri si formi la espressione 



(1) n + n' — 3 (rr — l). 



Orbene il sig. Enriques dimostra: 



1) che il valore della (1) coincide col genere lineare p iU di F, quando 

 p a) possa definirsi per la via geometrica sopra riferita; 



2) che, pur lasciando cader l'ultima ipotesi, la espressione (1) non 

 muta valore, quando essa venga calcolata coi caratteri di un nuovo si- 

 stema |D| di curve situato sulla superficie F, e privo esso pure di punti base. 



Egli conclude da ciò che la espressione (1) definisce, per via numerica, 

 un invariante della superficie F, rispetto alle trasformazioni birazionali; e 

 chiama quell' invariante genere lineare (numerico) p n) della superficie F, 

 anche nei casi in cui la definizione geometrica cade in difetto. 



Riguardo alla definizione numerica di p a) , giova notare che, se si ab- 

 bandona la condizione imposta al sistema lineare | C | di non aver punti base 

 sulla superficie F, e si opera invece sopra un sistema lineare qualsiasi di 

 curve su F, il valore della espressione (1), calcolata coi caratteri del nuovo 

 sistema, può differire da p a \ ma è in ogni caso ^Lp a \ Sicché p a) può de- 

 finirsi come il massimo valore assunto dalla espressione (1), in corrispondenza 

 agli infiniti sistemi lineari di curve appartenenti alla superficie F. Ora con 

 semplici osservazioni, e rimanendo sempre nell'ordine di idee in cui si è 

 posto il sig. Enriques, si vede facilmente che quella definizione di p (u si 

 estende subito a tutte le superficie dotate di un numero finito di curve ec- 



(') Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche, n. 42; Memorie della 

 Soc. ital. delle Scienze, 1896. 

 (*) L. e, n. 41. 



Rendiconti. 1897, Voi. VI, 1° Sem. 50 



