cozionali; mentre la restrizione che la superficie possa trasformarsi in una 

 priva di curve eccezionali, appare superflua. Si perviene così alla definizione 

 che segue: 



Sopra una superficie dotata di un numero finito di curve eccezionali, 

 si consideri un sistema lineare di curve, e coi caratteri di esso (e del 

 sistema aggiunto) si calcoli la espressione 



(2) « = w + 7r' — 3 (ti — 1); 



il valore di co varia col variare del sistema su cui si opera, ma ammette 

 sempre un massimo finito, che noi diremo genere lineare p w della su- 

 perficie. 



Con ciò noi abbiamo esposto, con minime aggiunte, la definizione di 

 |) (n data dal sig. Enriques. 



4. Quando però noi passiamo a considerare una superficie dotata di in- 

 finite curve eccezionali, ci troviamo in un campo interamente nuovo. Il ra- 

 gionamento col quale (seguendo il sig. Enriques) si prova che il valore va- 

 riabile di co ammette un massimo finito, non si applica più a questo nuovo 

 caso. E siamo condotti a domandarci se quel massimo esista ancora nelle 

 nuove ipotesi. Orbene, così è. Io dimostrerò infatti che sopra una superficie 

 qualsiasi, il valore di co, variabile col sistema che serve a calcolarlo, am- 

 mette un massimo finito ; quel massimo sarà evidentemente un invariante 

 della superficie rispetto alle trasformazioni birazionali. Anzi il procedimento 

 stesso che seguirò, mi condurrà a considerare due valori massimi di co, che 

 godono entrambi carattere invariantivo. 



Il primo massimo si riferisce ai valori che assume la espressione co, 

 quando ci si limiti a considerare sulla superficie quei sistemi lineari di curve 

 per cui n = 2n — 2; questo massimo, che esiste sopra tutte le superficie, 

 noi continueremo ad indicare con p°\ ed a chiamare genere lineare (prin- 

 cipale) della superficie. 



Il secondo massimo di co si riferisce invece a quei sistemi lineari per 

 cui n >> 2tc — 2 ; siccome esistono superficie che non posseggono sistemi sif- 

 fatti, così quel nuovo invariante verrà solo considerato sopra particolari super- 

 ficie; esso, quando esista, sarà indicato con p (n , e sarà chiamato genere lineare 

 secondario della superficie. 



Pur astraendo da questa distinzione, farò notare che la esistenza di un 

 valore massimo di co conduce a varie proprietà delle superficie appartenenti 

 ad una medesima classe. Non intendo ora di fermarmi su ciò, e mi basterà 

 di enunciare qui una di quelle proprietà, sebbene non si debba farne uso 

 nel seguito. 



« Fra le infinite superficie appartenenti ad una data classe, si può sempre 

 « costruirne una 0 dotata della seguente proprietà caratteristica: se con una 

 « trasformazione birazionale si muta la 4> in un' altra superficie F qualsiasi 



