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« della classe, il numero dei punti di <2> che si mutano in curve eccezionali 

 « di F, è superiore od uguale al numero dei punti di F che si mutano in 

 « curve eccezionali di cP » . Se le superficie della classe posseggono un numero 

 finito di curve eccezionali, la <P possiede il numero minimo di curve eccezio- 

 nali compatibile colla classe, e quindi la esistenza della £> è prevedibile a 

 priori. Ma la <P esiste anche se le superfìcie della classe posseggono infinite 

 curve eccezionali; e ad es. tra le superficie razionali, il piano gode la pro- 

 prietà della 0>. 



5. Prima di giungere alle proposizioni sopra accennate, è opportuno fer- 

 marsi un po' sulla distinzione dei sistemi lineari di curve in due categorie, 

 secondo che è n = 2tv — 2, oppure n >> 2u — 2. Ecco per qual via si arriva 

 naturalmente a quella distinzione. 



Sopra una superficie algebrica qualsiasi F si definisce, come è noto, una 

 operazione, detta aggiunzione, mediante la quale si passa da un sistema lineare 

 qualsiasi |C| di curve su F, al sistema aggiunto |C'|. La stessa operazione 

 applicata a |C'| conduce ad un nuovo sistema |C"|, che dicesi il secondo ag- 

 giunto di |C|; e così via. Ora si formi la successione 



|C|,|C'|,|C"|,... 



composta di un sistema lineare e dei successivi aggiunti. Due casi possono 

 presentarsi, secondo che quella successione è illimitata, oppure si compone 

 di un numero finito di termini.' Ora si dimostra che il presentarsi dell'uno, 

 o dell'altro caso, non dipende dal sistema |C| che si fissa sopra la superficie 

 F, ma dipende dalla natura della superficie F, intesa in senso invariantivo. 

 Si è condotti così a dividere tutte le superficie algebriche in due grandi 

 famiglie. 



1) Diremo che una superficie appartiene alla prima famiglia, se è illi- 

 mitata la successione formata coi successivi aggiunti di un sistema lineare 

 di curve |C|, comunque scelto sulla superficie. Appartengono dunque alla prima 

 famiglia le superficie di genere geometrico p g ^>0, poiché su queste esiste un 

 sistema canonico |K[, tale che |C'| = [C -f~ K|, ecc. Ma quando pure mancasse 

 il sistema canonico |K| (p g — Q), esistendo però il sistema bicanonico |2K| 

 (P2 !>0), o qualcuno dei sistemi pluricanonici, sempre la superficie appar- 

 terrebbe alla prima famiglia. 



2) Diremo invece che una superficie appartiene alla seconda famiglia, 

 quando la successione formata coi successivi aggiunti di un sistema lineare 

 di curve comunque scelto sulla superficie, si compone di un numero finito di 

 termini. Appartengono dunque alla seconda famiglia il piano, le super- 

 ficie rigate 



I sistemi lineari di curve appartenenti alle superfìcie dell' una o dell' altra 

 famiglia, si distinguono per una proprietà che giova qui enunciare, perchè è 

 strettamente collegata colle questioni che andiamo trattando. Indichiamo al 



