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Matematica. — Sul genere lineare di una superfìcie e sulla 

 classificazione a cui esso dà luogo ('). Nota di <i. Castelnuovo, 

 presentata dal Socio Cremona. 



6. Riprendiamo la espressione 



(2) w = n$-n f — 3(nr— 1) 



formata col grado n e col genere n di un sistema lineare di curve C|, scelto 

 comunque sulla superficie F che si considera; e sia |C'| il sistema aggiunto 

 a |C|, sistema avente il genere ri. 11 valore di u> dipende dal sistema |C| 

 su cui si opera, è una funzione di |Cj; noi vogliamo dimostrare che la fun- 

 zione possiede un massimo finito, qualunque sia la superficie P su cui si 

 ragiona ( 2 ). 



Limitiamoci per ora a considerare quei sistemi |C| irriducibili, almeno <x 2 , 

 per i quali è verificata la relazione 



(3) n^2n — 2. 



Noi sappiamo dal paragrafo precedente che alla (3) si può sempre sod- 

 disfare, sopra una superficie F qualsiasi; anzi se la superfìcie appartiene alla 

 prima famiglia, la (3) è soddisfatta da ogni sistema jC|. 



Ciò premesso, per raggiungere lo scopo propostoci, esaminiamo anzitutto 

 se il sistema |C| è contenuto nel proprio aggiunto |C'|, ed in caso afferma- 

 tivo costruiamo il sistema differenza \C — C|. Quest'ultimo sistema (da cui 

 si tolgano eventualmente le curve eccezionali che formano parte di ognuna 

 delle sue curve), se esiste, non dipende dal sistema |C| su cui si opera. Esso 

 (sistema canonico) è un invariante della superficie F, e la sua dimensione 

 aumentata di una unità, dà il genere geometrico p g di F. In generale, se, 

 scelto un numero i intero positivo qualsiasi, si formano i sistemi |/C| ed iC 

 multipli di |C| e |C'| secondo i, e si costruisce poi la differenza \iC — ìG\, 

 quest' ultimo sistema (sistema i. canonico), quando esiste, è legato invarian- 

 tivamente colla superficie, e la dimensione Pi — 1 di esso dà un nuovo in- 

 variante della superficie, rispetto alle trasformazioni birazionali; (P 1 =p g ). 

 Ora partendo dai caratteri (grado, genere e dimensione) dei sistemi |C| e jC'|, 

 si ha un modo per fissare un limite inferiore a P,, giacché basta calcolare 

 i caratteri di \iG\ ed \iQ'\, esaminare la serie di gruppi che |*'C'| sega sulla 



(') V. pag. 372. 



( 2 ) Sarebbe facile dimostrare, ma a noi non interessa, che la funzione w non ha mi- 

 nimo finito. 



