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curva generica di \iG\, ecc. Per questa via, che qui è semplicemente accen- 

 nata, si arriva, tenendo conto della (3), alla relazione 



(4) Pi^+^^-V-l), 



dove p„ è il genere numerico della superfìcie F (carattere che gode pro- 

 prietà invariante), ed co ha il significato indicato dalla (2). 



Ora basta osservare che nella (4), sia Pi , sia p n , hanno valori indipen- 

 denti del sistema |C| su cui si opera; co invece varia con |C|. Ma è chiaro 

 che a) non potrà crescere oltre ad un certo limite, che la (4) fìssa. Dunque 

 il numero intero co ammette un valore massimo; e ciò non solo sopra le 

 superfìcie aventi P* > 0, alle quali poteva già applicarsi il ragionamento del 

 sig. Enriques (n. 3), ma pure sulle superfìcie aventi P, = 0, che a quel ra- 

 gionamento sfuggivano. Arriviamo così al seguente teorema: 



Se coi caratteri di tutti i sistemi lineari di curve, almeno oo 2 , che 

 appartengono ad una data superficie e soddisfanno alla relazione 



(3) n ^ 2u — 2, 



si calcola la espressione 



(2) co = n -f- ri — 3 (n — 1), 



si ottengono infiniti valori di co, i quali ammettono un massimo finito. 



Quel valore massimo non varia evidentemente, quando alla superfìcie F 

 si applica una trasformazione birazionale, è un invariante della superfìcie. 

 Noi lo indicheremo con p a \ e lo chiameremo genere lineare della superfìcie, 

 poiché esso coincide col carattere noto sotto questo nome, nei casi in cui è 

 applicabile la definizione del sig. Nother, o quella del sig. Enriques. 



Ma la nostra definizione di^ (1) , a differenza delle precedenti, si estende 

 a tutte le superfìcie algebriche. 



7. La definizione che abbiamo dato del carattere p ll \ ha pure il van- 

 taggio di mostrare in quale relazione stia il valore di p n) colle proprietà 

 della superficie. Infatti, nella formola (4) noi possiamo scrivere in luogo della 

 variabile co, la costante p a \ che è uno dei valori assunti da quella variabile: 

 ed abbiamo così la relazione 



(5) P^n+^f^V 1 '-!). 



Ora questa ci mostra subito che se il genere lineare della superficie 

 considerata supera l'unità (p a) > 1), l'invariante Pj risulta certo positivo 

 in corrispondenza a tutti i valori di i superiori ad un certo limite ; per quei 

 valori di i la superficie possiede dunque il sistema /.canonico. E tanto basta 

 per affermare che la superfìcie appartiene alla prima delle due famiglie con- 

 siderate nel § 5. 



