— 408 — 



Se però la superficie ha il genere lineare = 1. la relazione (5) non 

 dice più nulla. Il sistema Scanonico iC — iC\ può mancare, per quanto 

 grande sia i ; almeno noi non riusciamo ad escludere questo caso. Cerchiamo 

 invece se, nella ipotesi p w = 1, esista il sistema \iC — (i — 1) C|, il quale 

 può differire soltanto per qualche curva fissa dal sistema \G a> \, i esimo ag- 

 giunto di |C|. Seguendo la via accennata nel paragrafo precedente, e tenendo 

 conto della (3), noi troviamo che la condizione sufficiente per l' esistenza 

 di |C (0 | è espressa dalla relazione 



(6) fr-t-nr + 'fr"^ - l) + (t-l)(27i-2-n)>0. 



Ora si può sempre porre in luogo di t» il valore p tlì = 1, purché si 

 scelga convenientemente il sistema |C|, soddisfacente alla (3). E si riconosce 

 che questa scelta può farsi in modo, che il genere n di |Cj risulti superiore 

 a — p n . Si vede allora che la (6) è certo soddisfatta qualunque sia i; esiste 

 dunque sulla superficie (p (l} = 1) un sistema |C|, avente tutti i sistemi suc- 

 cessivi aggiunti, in numero infinito. E tanto basta per affermare che la su- 

 perficie appartiene ancora alla prima famiglia. Arriviamo così al teorema 

 seguente : 



Se il genere lineare p u) di una superfìcie è superiore a zero, la su- 

 perficie appartiene alla prima famiglia ; vale a dire, sopra di essa la ope- 

 razione di aggiunzione può applicarsi senza limite. In modo più preciso: 



a) se p aì > 1 , la superficie ammette il sistema {.canonico per ogni 

 valore di i superiore ad un certo limite (ed è P, > 0) ; 



b) se j) a) = 1 , la superficie può ammettere il sistema {.canonico 

 (per i assai alto); e questo sistema, dato che esista, o possiede una sola 

 curva (P; = 1), od ha la curva generica composta di più curve ellittiche 

 variabili in un fascio. Ma l'esistenza del sistema {.canonico, non può 

 esser affermala a priori. E si può ammettere che esistano superficie con 

 p w — 1, prive di sistemi pluricanonici (P, = 0 per ogni valore di {), seb- 

 bene nessun esempio di siffatte superficie sia noto sinora. 



Patta eccezione per quest' ultimo caso, di ciascuno dei tipi di superficie 

 nominati qui sopra si posseggono esempi. 



8. Viceversa, ogni superficie della prima famiglia ha il genere lineare 

 J=l 1. Si giustifica questa affermazione ricordando anzitutto che, sopra una 

 superficie della prima famiglia, la relazione (3), ossia n ~ 2 n — 2, è veri- 

 ficata da ogni sistema lineare di curve appartenente alla superficie; ed è pur 

 verificata (n. 5) la relazione n ^Lri . Se adunque si considera un sistema |C| 

 di genere n, e si formano i successivi aggiunti | C | , j C" | . . ., di generi ri , ri'. . . . 

 si può scrivere la catena, composta di infiniti termini: 



(7) ti ^ ri ri' ^ . . . 



