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Insieme alle relazioni (7) ci giova, per dimostrare il nostro teorema, 

 scrivere un' altra serie di disuguaglianze, a cui arriveremo colla seguente con- 

 siderazione. Alla espressione della variabile co , che noi abbiamo scritto sinora 

 sotto la forma (2), si può dare un altro aspetto notevole, purché il valore 

 di co si calcoli, non più coi caratteri del sistema |C| scelto ad arbitrio sulla 

 superficie, bensì coi caratteri del sistema |C'| aggiunto a |C|. Notando che |C'| 

 ha il grado ri = n -J- ri — 2 ed il genere ri, noi deduciamo subito dalla (2) 

 la forinola 



(8) co — 1 = (re — ri) — (ri — n"), 



forinola valida per una superficie qualsiasi, e feconda di risultati. 



Ora, tornando al nostro teorema, ammettiamo, se è possibile, che una 

 superficie della prima famiglia abbia p a} ^L O. Poiché per definizione è co <j? (n , 

 risulta dalla (8) 



TI Ti' <^rì Ti" <^ Ti" Ti'" <^ • . . 5 



e questa serie di disuguaglianze tra numeri interi ci dice che le differenze 

 tra i generi di due sistemi aggiunti successivi, da un certo termine in poi, 

 sono positive. Ma ciò è in contraddizione colle (7). E tanto basta per giu- 

 stificare il teorema sopra enunciato. 



9. Le superfìcie di genere lineare p (v ^0, di cui dobbiamo ancora occu- 

 parci, sono dunque le superficie della seconda famiglia, sulle quali ogni sistema 

 di curvo ha un numero finito di successivi aggiunti. Ora sopra una superficie 

 della seconda famiglia, oltre a sistemi di curve soddisfacenti alla relazione (3), 

 vi sono pure sistemi soddisfacenti alla relazione opposta 



(9) n > 2tv — 2 



(od alla equivalente n >> ri). Con questi ultimi sistemi noi dobbiamo cal- 

 colare i valori della espressione co data dalla (2), o dalla (8); e dobbiamo 

 dimostrare che tra i nuovi valori di co così ottenuti, vi è pure un massimo 

 finito. Ora il procedimento che ci ha condotto a determinare il massimo p ll) 

 di a relativo ai sistemi soddisfacenti alla (3), e che consisteva nell' esami- 

 nare se il sistema \iG'\ contenesse il sistema \i C|, non si applica più quando 

 il sistema |C| soddisfa alla (9). Qui invece conviene esaminare se il sistema \iG\ 

 possa contenere il sistema \iG'\. Ma per maggiore semplicità ci limiteremo 

 al caso i=l. Si riconosce subito che il sistema |C| contiene il sistema |C J 

 (sotto la ipotesi (9)) se 



(10) + « — 1^0; 



ed il primo membro della (10) fissa un limite inferiore alla dimensione del 

 sistema |C — C'|. Ora si dimostra che la curva generica dell'ultimo sistema, 

 supposto esistente, ha il genere 1. D'altronde è noto che una superficie, la 



