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quale contenga un sistema lineare, almeno <x s , di curvo ellittiche, può trasfor- 

 marsi birazionalmente in un piano o in una rigata ellittica. E poiché su 

 queste due superficie si può determinare direttamente il massimo valore di w 

 (rispett. IO ed 1), così si conclude: 



Se coi caratteri dei sistemi lineari di curve che appartengono ad una 

 data superficie, e soddisfano alla relazione 



(9) n > 2/r — 2, 



si calcola la espressione 



(2) tù— n-\-n' — 3(n— 1), 



si ottengono infiniti valori di a> , i quali ammettono un massimo finito. 



Questo massimo ci dà un nuovo invariante della superficie, che noi chia- 

 meremo genere lineare secondario, ed indicheremo con p (1) . Esso, a diffe- 

 renza del genere lineare principale p l ", va considerato soltanto sopra una 

 parte delle superficie algebriche, e precisamente sulle superficie della seconda 

 famiglia f/> ci) = 0); infatti la relazione (9) non può verificarsi sopra le altre 

 superficie. 



Avuto riguardo ai valori di p (, \ le superficie della seconda famiglia 

 si possono suddividere in due categorie: 



a) superficie per cui p (1) >> 1 ; 



b) superficie per cui p (1) JÉ- 1. 



Cerchiamo di determinare i caratteri salienti delle due categorie. 



10. Ci occuperemo anzitutto della seconda categoria, poiché qui riusci- 

 remo ad esaurire la ricerca. 



Noi supponiamo adunque che la superficie su cui ragioniamo abbia il 

 carattere p n) = 0, ed il carattere p (1) ^ 1. Ricordando che il valore variabile w, 

 funzione del sistema di curve che si fissa sulla superficie, non può superare per 

 definizione il maggiore dei due numeri p lv e p (1) , concludiamo che sulla nostra 

 superficie è sempre (»^=.l. Quindi se indichiamo con ]C| un sistema lineare 

 qualsiasi di curve sulla superficie, e formiamo la serie (certo limitata, poiché 

 j> (1) = 0) dei successivi aggiunti |C'|,|C"|,...,|C (<> |, tra i generi ti ,ri ,ri',,.., ri' l) 

 dei sistemi così introdotti, passano le relazioni, conseguenze della (8), 



(11) n — ri^Lri — ri'^...^ — ri ù 



Ora poiché la nostra superficie appartiene alla seconda famiglia, si può 

 sempre supporre di aver scelto il sistema j C | in guisa che sia ve > ri ; anzi 

 la scelta di |C| può farsi in modo, che la differenza n — ri superi un nu- 

 mero D grande assegnato ad arbitrio 



re — ri > D, 



