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giacche si soddisfa a tale condizione, sostituendo, ove occorra, al sistema pri- 

 mitivo un suo multiplo abbastanza elevato. Segue ora dalla (11) 



(12) 7F K-1) — n {i) > D. 



D'altra parte, essendo |C U) | il sistema aggiunto a |C (i-1) |, che ha il 

 genere tt 0 '-", la dimensione r (,) di |C (/> | sarà espressa da 



r <;> _ jj-a-n _ 1 

 dove ó soddisfa alle disuguaglianze 



(per la superficie che stiamo considerando è p n ^0). E così la (12) può scri- 

 versi sotto la forma 



(13) r** — 7r (i> >D', 



indicando^ con D' un numero che si può prendere grande ad arbitrio, purché 

 si determini convenientemente il sistema |C|. 



Consideriamo ora il sistema [C (i) |, col quale, secondo la nostra ipotesi, 

 si arresta la operazione di aggiunzione applicata a |C| tante volte, quanto 

 era possibile. Poiché |C ci) | non possiede sistema aggiunto, deve essere 



n U) ^ — p n . 



Ma vanno ancora distinti due casi, secondo che |C a) | è irriducibile, o 

 riducibile. 



Occupiamoci anzitutto del primo caso. Si può supporre di aver scelto 

 nella (13) D' così grande (D' > — 3p n -\-6), che risulti 



r (i) > 3 tt (ì) -f- 6. 



Ma un teorema del sig. Enriques (') ci dice che, se tra la dimensione r li> ed 

 il genere 7F (i) di un sistema di curve passa una siffatta disuguaglianza, la super- 

 ficie contiene un fascio di curve razionali, e può anzi trasformarsi birazional- 

 mente in una rigata. Così questo primo caso è completamente esaurito. 



Veniamo ora al secondo caso. Se |C (i) | è riducibile, la sua curva generica 

 si spezza, o in una parte fìssa e in una parte variabile, o in più (almeno r (i) ) 

 parti variabili in un fascio. Ma la prima ipotesi si discute collo stesso ra- 

 gionamento fatto nel caso del sistema irriducibile. Nella seconda ipotesi si 

 osservi che l' insieme di r Uì (o più) curve di quel fascio deve dare, secondo 

 la (13), una curva composta di genere 7r (1) < r ai ; ciò esige che la curva 

 generica del fascio sia razionale od ellittica ; ma dei due nuovi casi l' ultimo 



(') Sulla massima dimensione. . . , Atti dell'Acc. d. Se. di Torino, voi. 29. 



