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si esclude con un ragionamento minuzioso, sul quale non possiamo qui di- 

 lungarci. Co9Ì si ritorna nuovamente al caso del fascio di curve razionali. 

 Arriviamo dunque al seguente risultato : 



Se il genere lineare secondario di una superficie ha il valore 



p«> < x 



{ed è quindi p U) ~0), la superficie contiene un fascio di curve razionali, 

 e può trasformarsi per conseguenza in una rigata o in una super f eie conce 1 

 coniche. 



Inversamento, un calcolo diretto mostra che se una superficie contiene oo 1 

 curve razionali (che possono supporsi rette o coniche), formanti un fascio ili 

 genere p 0, il genere lineare secondario della superficie vale 



pu) = _ 8(j p_ 1) + 1 < l 



11. Così rimangono da considerare soltanto le superficie per cui p (l) > 1. 

 Un esempio di siffatte superficie è offerto intanto dal piano, ossia dalle super- 

 ficie razionali. Infatti si trova direttamente che per il piano è 



p u) — 10 (e p 0) = 0). 



Ma potranno esistere altre superficie aventi il carattere p (1) >■ 1 ? 



Di siffatte superficie non si conosce finora nessun esempio. Però sarebbe 

 arrischiato l'affermare che non esistono; e per poter fare qualche previsione 

 in proposito, si deve attendere che vengano risolute alcune questioni stretta- 

 mente connesse coli' argomento. Accenniamole brevemente. 



Si dimostra che una superficie contenente infinite curve razionali, tali 

 che per ogni punto passi più. di una curva, ha il carattere p (1) > 1. Ora 

 ogni superficie razionale ha la proprietà enunciata ; ma all' infuori delle su- 

 perficie razionali, esisteranno altre superficie aventi la stessa proprietà? 



Alla domanda stessa si riduce la questione che segue. Consideriamo una 

 superficie rigata irrazionale <2>, ed una seconda superficie F, i cui punti ab- 

 biano coordinate esprimibili razionalmente mediante le coordinate dei punti 

 di <P. Allora ad ogni punto di <P corrisponde un punto di F ; ma ad ogni punto 

 di F possono corrispondere uno o più punti di <P. Neil' ultima ipotesi, che 

 cosa possiamo dire della F? Si vede subito che la F contiene oo 1 curve ra- 

 zionali; se queste formano un fascio ricadiamo nel tipo delle superficie rigate. 

 Ma se quelle curve non formano un fascio, ci troviamo nella categoria di 

 superficie sopra considerate (p ci> >l); la F dovrà essere razionale? In altri 

 termini: sopra una rigata irrazionale può esistere una involuzione, la quale 

 non sia riferibile birazionalmente nè ad una rigata, nè ad un piano? Non 

 sappiamo ancora rispondere alla domanda. 



Una ultima questione. Se una superficie ammette una serie continua di 

 trasformazioni birazionali in sè, serie la quale (mediante moltiplicazione) dia 



