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suddeterminanti dell'ultima orizzontale, allora fra le funzioni considerate 

 passa una relazione lineare omogenea, a coefficienti costanti, non tutti nulli » . 



Facendo uso dei numeri complessi d' ordine n , e dei prodotti alternati, 

 di G-rassmann, la proposizione .si può enunciare coi simboli di Logica, e 

 dimostrare facilmente. L' intervallo entro cui varia la variabile indipendente 

 si può supporre, senza ledere alla generalità, che sia l' intervallo da 0 ad 1, 

 indicato nel Formulaire col simbolo 0. Il prodotto alternato dei numeri com- 

 plessi x , y , ... Z , in numero < n , si indica con \_x . y z~\ ; e se il nu- 

 mero dei fattori è n , esso è il determinante formato cogli elementi di questi 

 complessi. E allora la proposizione si enuncia 



xe q„ ffl : tee . O t . {x. Dx D'^xJ = 0 . [x . Da D"- 2 ^], -=0:O. 



&q n (~iO)c$£ied .O,.']^" (*<«,), = <) . 



« Sia x un numero complesso d' ordine n , funzione definita d' una va- 

 riabile nell'intervallo 0; e suppongasi che per ogni valore di t il determi- 

 nante Wronskiano sia nullo, ma sia diversa da zero la matrice formata 

 colle n — 1 prime orizzontali. Allora esiste un numero complesso d' ordine n , 

 differente da zero, e tale che Ci x l + ••• -f- c n x n = 0 ». 



Infatti pongasi m — mod [x . Dx D n - 2 x~\ , cioè chiamisi m la radice 



quadrata della somma dei quadrati dei determinanti minori dell' ultima oriz- 

 zontale; e si consideri il complesso 



e = — [x .Dx J) n - 2 xl 



m 



esso è un complesso d'ordine % finito, perchè per ipotesi il divisore m non 

 è nullo; e non è nullo, poiché il suo modulo è 1. La somma ^_CiX% vale 



— [x . Dx D n ~ 2 x . x~] che è nulla, perchè due fattori sono identici. Resta 



m L 



a riconoscere che c è costante ; e basta perciò calcolare la derivata. Dispongo 

 il calcolo come segue: dalla definizione di c risulta 



\_x . Dx D"- 2 ^] = me 



derivo : 



[x.Dx D n ~ 3 x . D il -^] = (Dm) e + mDc. 



Faccio il prodotto regressivo dei due membri. Il termine con Dm si annulla 

 e si ha: 



[x . Dx D n ~ 3 x . D"- 2 x . D n ~ l x'] .{x.Dx D^x"] = m 2 [_c . Dc~] 



e siccome il Wronskiano è nullo, si ricava 



(c . Dc~] = 0 



