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che in ogni punto abbia come valore la media dei valori che essa ha su 

 una circonferenza di centro quel punto, ha necessariamente le derivate 

 dei vari ordini, e quindi anche è armonica. 



1. Sia u(xy) la funzione data nel campo C: e supponiamo che sia in 

 C \ u(xy)\<iT} . Indico con C B il campo di C tale che ogni cerchio di centro 

 un punto di C R e raggio R sia interno a C . Sarà lim C K = C . La proprietà 



supposta per u(xy) se (xy) è in C p , è espressa dall'equazione 



1 e** 



(1) u(xy) = — u(x -j- q cos # , y -j- q sen d& , 



ossia 



J~2ir 

 u(x -}- q cos # , y -{- q sen &) d& . 

 0 



Supponiamo (xy) in C R ed integriamo rispetto a g tra 0 ed R: si avrà 



u(xy) = — — 2 I gdg I u(x -f- Q cos & , y -J- ^ sen &) d& = 



^R «A ■-'o 



dove r n (xy) indica il cerchio di centro (xy) e raggio R. In altri termini 

 u(xy) è uguale alla media dei valori della u(xy) in ogni cerchio di centro 



(*y) 0)- 



È da notare che l'integrale dell'ultima formula (2) ha realmente senso 

 come integrale di area, grazie all'ipotesi che la u(xy) sia superficialmente 

 integrabile. 



Segue dalla (2) facilmente che la funzione è continua ed ammette le 

 derivate dai vari ordini ( 2 ). 



n. 2. Ma a diminuire fin d'ora l'importanza di tale ipotesi, osserverò che le integrazioni 

 di cui si parla in tutto il ragionamento che segue possono intendersi nel senso del Le- 

 besgue. Supponendosi la funzione limitata, l'integrale del Lehesgue preso sulle circonfe- 

 renze esiste sempre che esista l'integrale Eiemanniano (non viceversa), e non differisce 

 da esso ; e può allora esistere l'integrale superficiale nel senso del Lehesgue (in modo che 

 le deduzioni del testo conservino il loro valore) senza che esista però il corrispondente 

 integrale di Biemann. Così avviene per es. : negli esempì dati dal Pringsheim (Munch. 

 Ber. 1899) di funzioni integrabili linearmente sulle parallele agli assi e non integrabili 

 superficialmente nel senso di Riemann. 



(') È dunque questa una proprietà di cui godono le funzioni armoniche. Per via 

 alquanto più complicata è essa stata ottenuta e notata dallo Zaremba, Sur l'intégration 

 de Véquation biharmonique. Bull, de l'Acad. de Cracovie. Janvier, 1908, pag. 7. 



( 2 ) I ragionamenti che seguono sono sostanzialmente identici a quelli usati, in con- 

 dizioni più difficili e più complicate, da Beppo Levi nel §5 della Memoria: Sul prin- 

 cipio di Dirichlet. Rendiconti, del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXII, 1906. 



