— 12 — 



La funzione è continua alV interno di C . Infatti se (xy) ed (x'y') sono 

 due punti di C K , la cui distanza è d, si chiami L x la lunula interna a 

 r R (xy) ed esterna a r^(x'y') , L 2 la lunula interna a r n (x'y') ed esterna 

 a r n (xy): sarà 



(3) u(x'y') — u(xy) = j Jj^ — JJ^ | w(aj,yi) S», ; 

 quindi, poiché in C è | u(xy) | < U , sarà 



2U 



dove A è la grandezza comune delle aree In ed L 2 . Ma X tende a zero 

 con ó: quindi la funzione u{xy) è continua in ogni campo C R . E quindi 

 ancora è continua in tutti i punti all'interno di C . 



La funzione u(xy) ammette le derivate prime finite all'interno di C . 

 Proviamo ad es. che esiste la derivata rapporto ad x. Poniamo ** in (3) 

 (x'y') == (x -f- 6 , y) : la (3) si può allora scrivere : 



1 l 277 f 8 



u(x-\-à,y) — u(xy)= cos#d# -]-R cos ,2/ + Rsen#)cfè. 



nix Jo J o 



Indicando con Is un conveniente valore tra 0...Ó' — dipendente da ^ — , 

 e ricordando che la funzione u{xy) è continua, si deduce, pel teorema del 

 valor medio, 



u(x + S,y) — u(xy) = 1 f 27r ^ _|_ r CO s * +£ s , y + R sen ) cos & d& . 



S 71 R J 0 



~ÒU 



Passando al limite per ò = 0 , si avrà che in C R esiste — ed è data da 



(4) = _L r* u ( x -L R cos # , « + R sen cos # . 

 v 7 Da; 7rRJ 0 



Facendo tendere a zero R si conchiude che all'interno di C esistono 

 le derivate prime di u(xy) e sono date da (4) : onde, poiché u(xy) è finita 

 e continua, sono esse pure finite e continue. Esse sono quindi anche inte- 

 grabili; e si vede allora immediatamente che queste derivate sono anche 

 espresse in C R dalla formula 



ck\ M = J_ ff M^'y') dx , d , 



y ' ~~òx nWJJT^xy) ~òx' a 



poiché evidentemente l'integrale ultimamente scritto è uguale a quello del 

 secondo membro di (4). 



