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Ragionando su (5) come su (2) si vede subito che esistono a loro volta 

 le derivate seconde di u e sono finite e continue : in particolare si ha 



(6) 



— - = — — 5 — ! L2 — J cos & d-d- 



~òx 2 nn J 0 lix 



yu 1_ f 27r ~òu(x + R cos # , y -f- R sen &) £ ^ 



V — ttR.J 0 "ty 



Si potrebbe allora, come dissi in principio, dedurre che la funzione è 

 armonica ricorrendo alle formule di Green : ma è più facile verificarlo diret- 

 tamente, osservando che da (6) ed (1) segue 



2 f 27r iw(ce + Rcos#,y + Rsen#) y„ 

 ^ M== ^rJ 0 



_2_ J_ 



R DR 



2 ~òu{xy) 



IT dr 



Qèr Jj 277 ^ + R c <>s # , y + R sen **] = 



= 0 



2. Abbiamo già detto che l'ipotesi che oltreché integrabile su 



ogni circonferenza, sia pure superficialmente integrabile, si può sostituire 

 con altra meno restrittiva ('). Per enunciare questa condizione, si considerino 

 due punti (xy) ed (x'y') arbitrarti del campo C e si chiami ó la loro di- 

 stanza : si dicano g e g' le coordinate bipolari, rispetto ai punti (xy) ed (x'y') 

 come centri, di un punto arbitrario. Ad una coppia di valori g , g' corri- 

 spondono due punti, l'uno in uno, l'altro nell'altro dei semipiani limitati 

 dalla congiungente (xy) con (x'y') ; e la funzione u darà luogo in questi due 

 semipiani a due funzioni Ui(g,g'), u 2 (g,g'), le quali per l'ipotesi che noi 

 manteniamo dell'integrabilità di u su ogni cerchio, saranno integrabili sui cerchi 

 ^ = cost e g' = cost. Noi supporremo di più che, preso un campo t limitato 

 da uno o due cerchi, esistano e siano uguali i due integrali 



fdg jju^g , g') +u z (g, <?')] ^ dg' jdg' Jfrfo , g') + u 2 (g , <?')] ^ dg 



dove ^ = [e? 2 — (g' — £) 2 ][<? 2 — (g' + (?) 2 ] e le integrazioni sono estese a 

 valori di g e g' che dànno punti interni a r, È noto che questa ipotesi è 

 meno restrittiva di quella dell'integrabilità superficiale in t ( 2 ). 



(') Questa semplificazione nelle ipotesi mi fu indicata da mio fratello Beppo. 

 ( 2 ) Condizioni sufficienti affinchè si abbia 



jdS J7(fc7) dn = jd V j f(m di 



furono date dall'Arzelà nella Memoria: Sugli integrali doppi (Memorie dell'Accademia 



