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Procederemo in modo analogo a quello tenuto al n. 1. Nelle coordinate 

 q e q' l'elemento lineare del piano è 



(7) df = 4 ^ i QQ 'w + d?*) - (e" + e 2 - e? 2 ) d Q d Q 'i 

 e se si suppone (xy) in C P f, (a;'/) in C p , la (1) ci darà: 



u( X y) = - f P+S l>i(g.g') + »» (Q,Q')l9'dQ' ^ 



Di qui moltiplicando per q la prima, per q' la seconda e, supposti (xy) 

 ed («V') in C R , integrando rapporto a j e 5' rispettivamente si avrà 



M (^) = l^- I ^ ' IMQ , Q') + Ms . ?')] ^p' 



Invertiamo nella prima di queste formule l'ordine delle integrazioni, il 

 che per ipotesi è possibile: se si suppone 2J<R, si avrà 



Confrontando colla seconda delle (8), si deduce 

 (9) u (xy)~u(x'y') = — ^ d Q ' [« x (w') + «.(^)] ^ 4f - 



Osserviamo ora che per (7) la lunghezza tt^»' del semicerchio di raggio q' 

 e centro xy è data se q' ^> à da 



delle Scienze di Bologna Serie V, voi. II, 1891, pag. 143) il quale notò che esse non 

 bastavano a dedurre l'integrabilità superficiale. Sopra abbiamo già richiamato che un 

 esempio di funzione non integrabile superficialmente e per cui tale uguaglianza è soddi- 

 sfatta è stato dato dal Pringsheim (Miinch. Ber. 1899). Nelle citate ricerche si tratta 

 sempre di integrali di Riemann: per gli integrali di Lebesgue la questione non è stata 

 ancora studiata. 



