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Se (f è numero reale funzione di P, e ©&<p , , ©<p sono i valori di 

 Sfc>x , <$x , S>X<?x per x parallelo alla tangente in P alla linea $p = cost, 

 allora 



grad a> x e grad ai 



' (3 div g ra( ^ y 



' 7^ 1V mod grad y 



NAgrady X ergrady 

 ( IH ) T5, = — (grad y)2 • 



Inoltre, inv, o\ inVzC sono, rispettivamente, la curvatura media e to- 

 tale (o di Gauss) di 2 nel punto P. 



Queste forme di pis> , (|., ti e delle curvature media e totale, sono «s- 

 sofote, cioè sono indipendenti tanto da coordinate cartesiane, quanto da coor- 

 dinate curvilinee in 2. Si dimostrano, in modo pure assoluto e semplicissimo, 

 applicando, insieme ad altre ben note regole di calcolo vettoriale, le regole 

 seguenti meno usuali: 



(«) u X <rv = v X Ktfu , KKff = e 



(/S) o(u A v) = (invj a) u A v — u A Kffv + v A Ktfu 



grad(uXv) = K^v + K^u , gradu 2 = 2K^u 



(S) ^u = (rotu)Au + |gradu 



e nelle quali u , v , w sono vettori e <s è omografia vettoriale. 



1. Per dimostrare quanto abbiamo affermato riguardo alle curvature, 

 occorre esaminare le seguenti proprietà di a. 



L'omografia <r trasforma un vettore qualsiasi in un vettore parallelo 

 al piano tangente a 2 nel punto P, cioè 



(1) NX<rx = 0, qualunque sia il vettore x. 



Dall' ultima (y), per essere grad W = grad 1 = 0 si trae KffN = 0 ; 

 quindi x X K<rN = 0 e da (a) la (1). 



Il vettore <rN è nullo. Il vettore dell'omografia a è nullo e quindi 

 è nulla anche la rotazione di N , e Kg coincide con o", cioè 



(2) <rN = 0 , Vcr = 0 , rotN = 0 , Kff = a . 



Il punto P + u , con u vettore tale che u X cu = cost , descrive una 

 quadrica 0, che non è propria, perchè KcN = 0 cioè Ko" e tf sono dege- 



