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neri. Il cono assintoto di 6 si ha per u X cu = 0 ; ora a tale condizione 

 soddisfano i vettori paralleli ad N (per la (1)): e quindi il cono, o è for- 

 mato dalla sola normale a 2 in P, o da due piani uscenti da questa retta 

 (2 non sia un piano). In ogni caso N è direzione principale di 6 ed è 

 quindi vettore unito per la dilatazione di a (per Do 1 ), cioè esiste un numero 

 reale h tale che DcN = AN . In conseguenza 



<rN = Do-N + (Va) A N = hN + (Ve) A N ; 



ma da (<f) si ha, essendo grad N 2 = 0 , 



<rN = (rot N)AN = 2(V<r) A N , 



che combinata con la precedente dà 



(tN = £Pf -f i crN da cui crN = 2AN , 



e, per le (1), 0 = N X ffN = , A == 0 cioè <rN = 0. 



Fissato, ad es., u normale ad N , il numero u X cu è determinato e, 

 se non è nullo, 0 è un cilindro con le generatrici parallele ad N, perchè per 

 v = u -f- AN si ha v X cv = u X cu. La sezione retta, per P (indicatrice 

 di Dupin) di questo cilindro è una conica che ammette sempre due, o infi- 

 niti, assi le cui direzioni (delle linee di curvatura in P) sono unite rispetto 

 a a. Allora, se x , y sono vettori unitari e ortogonali nelle direzioni degli 

 assi, sarà xAo , x = 0,yAoy=0 e quindi 



2Va = x A tfx -f y A <ry ±= N A ffN = 0 , 



cioè Va = 0 e rot N = 0 . 



Dall'essere Va = 0 risulta subito che Ka = a perchè a = Da -f- (Vff)A 

 e Ktf = Dtf — (Vtf)A. 



Se y> è numero reale, funzione di P, il suo gradiente è normale 

 ad N, cioè 



(3) N X grad g> = 0, 



e quindi: grad 9 è la direzione di quella normale in P alla linea $p = cost 

 che giace nel piano tangente a 2 e N A g ra d g> è la direzione della tan- 

 gente in P alla stessa linea. 



Sia xp un altro numero funzione di P. Per ogni punto di 2, in un 

 certo intorno di P, passi una sola linea y> e una sola linea xp che in ciascun 

 punto del campo abbiano tangenti determinate e non parallele. Il punto P 

 è, in tale intorno, funzione di g> e xp ; P'tp e P'4, siano le sue derivate par- 

 ziali rispetto a y> e xp, e il verso di N sia tale che 



N = P'<pAP r i = P f 9 A P^ 

 mod(F 9 AP'|) m 



