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Se ora moltiplichiamo internamente (X) i due membri della identità 



dP = P'< ? cty + P'*# 



per N A P> , si ha 



rf 9) =_ÌNAP>XrfP; da cui, grad</> = __^NAP> 



che dimostra quanto abbiamo affermato. 



2. Dimostriamo ora le formule (I)-(IIl'). 



Siano y , / due linee di 2, uscenti da P, ed aventi, nel punto P, la 

 tangente, normale principale e binormale, parallele, rispettivamente, ai 

 vettori 



x,N,NAx ; x,NAx,N, 



essendo x vettore unitario normale ad N . 



I numeri 9>W , <$x si definiscono di solito, almeno in sostanza, come 

 flessioni in P, rispettivamente, di y ,7 6 ®* come torsione in P di y, o, 

 il che equivale a meno del segno, di y'. Allora se osserviamo che, essendo 

 u , v vettori, 



du. 

 d? Y 



è la ? derivata di u presa nella direzione v-(')e ricordiamo le formule 

 vettoriali di Prenet, si ha, stabilendo i segni di 0h , <$ , p , 



(4) «^-(^Xx— (§x)xS 



(6) ^ x )xNAx = -(^x)xN. 



Gli ultimi membri sono stati ottenuti dai primi (definizioni) applicando 

 alle identità 



NXx = 0 , (NAx)Xx = 0 , NX(NAx) = 0 

 le regole di calcolo vettoriale (y) e (a). 



Da («f), per essere x 2 = l, si trae ^x = (rotx)Ax, e dalle (4) 



H Qualunque sia l'ente m, funzione di P,^V dà, sotto forma assoluta, il quo- 

 ziente differenziale di m nella direzione V così opportunamente considerato dal Cesàro 

 (Geometria intrinseca). Per una definizione quasi assoluta del quoziente differenziale cfr. 

 C. Burali-Forti, Lezioni di geometria metrico-proiettiva, Torino, Bocca, 1904. 



