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risultano subito le due prime forme della (1). Per ottenere la terza forma 

 si osservi che in virtù delle (1), (2), (/?) si ha 



(a) inv 2 <r = ex A ff(N A x) X N = <rx X } (inv, ff ) N A x — N A ffx ( X N = 



= (inv, a) x X ffx — (ffx) 2 = (inv, tf) gife* — (ffx) 2 . 



Nello stesso modo dalla seconda forma (5) si trae (eseguendo il pro- 

 dotto interno dei due prodotti vettoriali) la prima forma della (II) e da 

 questa la seconda mediante la nota formula 



div (u A v) = v X rot u — u X rot v 



e tenendo conto della (2). 



Le (III) si ottengono subito da (6) con la (a). 



Per avere le (F), (II'), (III') basta porre nelle corrispondenti, in virtù 

 della (3), 



mod grad y> 



Dalle seconde forme (II) e (III) si ottengono subito le (II'), (III'). La (F) 

 si ottiene osservando che dalla seconda forma (I) si ha 



(b) €>Is>NAx = NAxX<x(NAx) = NAxXj (inv, ff)NAx — NAffx( 



= inv, ff — x X ffx = inv, ff — ©Is x . 



Che inv, ff e inv 2 ff siano le curvature media e totale di 2 in P appa- 

 risce dalle formule 



(7) 0l£>x -f- €>l£>NAx = inv, ff 



(8) 0hx ©^NAx — (®x) 2 = inv 2 ff (») ; 



la (7) è dimostrata dalla (b); la (8) risulta da (a) osservando che 



Stex 9l£>NAx — (^x) 2 = x X ffx (inv, ff — x X ffx) — (N A x X ffx) 2 = 

 = (inv, ff) x X ffx — J (x X ffx) 2 + (x A ffx) 2 ( = (inv, ff) x X ffx — (ffx) 2 . 



3. Infine, omettendo molti altri risultati che si possono ottenere con 

 egual facilità, e sempre in modo assoluto, vediamo come possa esprimersi 

 in funzione di un vettore arbitrario x, purché unitario e normale ad N, 

 l'ordinario A 2 y, cioè la div grad <p. Si ha 



(9) div gl 'ad y = j^»x|xx + |^^(NAx,|xNAxO. 



(') Dalla seconda forma (III) si ha subito t§N — ~ 1§x 

 ( a ) Cfr. Cesàro, Geometria intrinseca e C. Burali-Forti, Formule di Frenet (n. 5), 

 Atti Acc. Torino (1902). La seconda forma invariantiva 



j^( NA s)jxs-j^*jxNAx 

 risulta subito nulla applicando (p) al primo termine. 



