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Matematica. — Sopra un caso limite delle trasformazioni 

 delle superfìcie applicabili sulle quadriche. Nota del Socio Luigi 

 Bianchi. 



1. Nella teoria delle trasformazioni B ft per le superficie applicabili sulle 

 quadriche generali, da me recentemente costruita (*), si presenta un caso 

 limite notevole quando la quadrica fondamentale rigata Q , variando nel si- 

 stema confocale, diventa una delle quadriche singolari della schiera, dege- 

 nerando come inviluppo in una delle coniche focali, le cui tangenti vengono 

 allora a rappresentare i due sistemi (coincidenti) di generatrici. Si ottiene 

 così, come caso limite, una teoria delle trasformazioni per una classe parti- 

 colare di curve che possono dirsi coniche distorte, come quelle curve che 

 si ottengono dalle coniche ordinarie assoggettandole ad una torsione arbitra- 

 ria senza alterare, in ciascun punto, il valore della flessione. In particolare 

 se la conica fondamentale è un circolo, le curve deformate sono le curve a 

 flessione costante o i circoli storti (Cesàro). 



Per maggiore chiarezza degli enunciati, dei teoremi e delle formole che 

 andiamo ora ad esporre, premettiamo le osservazioni seguenti. Quando una 

 sviluppabile si deforma conservando rettilinee le sue generatrici, il suo spi- 

 golo di regresso si deforma conservando in ogni punto invariata la flessione 

 e cangiando la torsione. Viceversa se due curve r, r' si corrispondono punto 

 per punto, per eguaglianza d'archi ed avendo in punti corrispondenti eguale 

 flessione, le sviluppabili delle loro tangenti sono applicabili corrispondendosi 

 le generatrici. Diremo perciò che le due curve r , f" sono applicabili, ov- 

 vero che luna è una deformata dell'altra. Teniamo fissa una delle due curve, 

 p. e. r', e assoggettiamo l'altra ad un movimento continuo nello spazio per 

 modo che ogni suo punto si porti successivamente a coincidere col corrispon- 

 dente di r', ed insieme il piano osculatore di r nel punto di contatto venga 

 a coincidere col piano osculatore di r' ; diremo allora che r rotola sopra T', 



Ciò premesso, prendiamo una conica fondamentale C ed una qualunque 

 conica distorta r , applicabile sopra C . Consideriamo inoltre una quadrica 

 rigata Q , di cui C sia una conica focale, ed immaginiamo che la conica C 

 rotoli sulla deformata r seco trascinando la quadrica Q . Abbiamo allora il 

 seguente teorema fondamentale: 



Le rette (dell'uno o dell'altro sistema) della quadrica Q , trascinata 



H Vedi la mia Nota del 5 marzo 1907 in questi Eendiconti, ove vengono enun- 

 ciati i principali teoremi di questa teoria, ora sviluppata nella mia ultima pubblicazione : 

 Mémoire sur la théorie des transformations des surfaces applicables sur les quadriques 

 générales (Mémoires présentés par divers Savants à l'Académie des Sciences, t. XXXIV). 



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