— 176 — 



nel rotolamento della conica focale C sulla sua deformata f, generano 

 una congruenza le cui sviluppabili di un sistema hanno per spigoli di 

 regresso altrettante coniche distorte T' applicabili sulla conica C. 



A complemento di questo enunciato aggiungiamo quanto segue. Si con- 

 sideri la conica C, confocale a C, sezione del piano di C colla quadrica Q. 

 Mentre C rotola sur, la conica C descrive una superficie modanata (mou- 

 lure), che indicheremo con 2, inviluppata lungo le coniche C\ dalle varie 

 posizioni della quadrica Q . Su questa superficie 2 abbiamo un doppio si- 

 stema di curve T' che seguono, in ogni loro punto, la direzione di quella 

 generatrice di Q che vi passa. Queste curve Ti sono appunto le indicate 

 trasformate della conica distorta iniziale r. 



2. Le forinole relative alle trasformazioni delle coniche distorte difficil- 

 mente potrebbero dedursi da quelle generali per le trasformazioni delle de- 

 formate delle quadriche e d'altronde la natura più elementare dell'attuale 

 teoria, che appartiene alla teoria delle curve, domanda un'analisi diretta, 

 che qui rapidamente indichiamo. 



Considerando una deformata qualunque r della conica fondamentale C, 

 riteniamo per questa curva r le consuete notazioni (Vedi le mie Lezioni 

 di geometria differenziale, cap. I) e indichiamo con u un parametro che 

 fissa la posizione di un punto mobile su r . Similmente sulla conica C , 

 confocale a C, prendiamo un secondo parametro v per individuare la posi- 

 zione di un punto mobile su C. Quando la conica C, rotolando sopra r, 

 viene con essa a contatto in un punto P = (x , y , z), corrispondente al va- 

 lore u del parametro, le coordinate x , y' , z di un punto qualunque di C, 

 corrispondente al valore v del rispettivo parametro, saranno funzioni di u , v 

 della forma: 



(1) x — x + la -f mì , #= y-\-ip-\-mr} , è' = z -j- ly + m£ . 



Qui l,m indicano due funzioni di u,v, che restano sempre le stesse 

 comunque la curva T si deformi, e per calcolarne i valori basta dare a r 

 la forma stessa della conica C . Queste forinole (1) dànno la superficie mo- 

 danata 2 luogo della conica C. 



Per una posizione qualunque di C consideriamo la quadrica Q che tocca 

 2 lungo C e indichiamo con X , Y , Z i coseni di direzione della generatrice 

 considerata di Q uscente dal punto (u,v) di 2 . Avremo : 



(2) X = La + M£ + PA , Y = L/? -f- Mi? + , Z = Ly + M£ + Yv , 



dove le funzioni L , M , P di u , v sono, come le l , m nelle (1 ), indipendenti 

 dalla forma di r . 



